Question

設P是曲線y²=4x上的一個動點，則點P到點A（-1，2）的距離與點P到x=-1的距離之和的最小值為

2

2

．

Answer 1

分析：設P點在曲線y²=4x上的準線l：x=-1上的射影為M，曲線y²=4x的焦點為F，利用拋物線的定義將點P到準線的距離轉(zhuǎn)化為點P到焦點的距離，利用不等式的性質(zhì)即可得到答案．

解答：解：∵y²=4x的準線方程為：x=-1，
設曲線y²=4x的焦點為F，則F（1，0），設曲線y²=4x上的動點P（x₀，y₀），
P點在曲線y²=4x上的準線l：x=-1上的射影為M，由拋物線的定義可知，|PM|=|PF|，
又A（-1，2），
∴|AF|=

(1-(-1))2+(2-0)2

=2

2

，
∴|PA|+|PM|=|PA|+|PF|≥|AF|=2

2

．
∴點P到點A（-1，2）的距離與點P到x=-1的距離之和的最小值為2

2

．
故答案為：2

2

．

點評：本題考查拋物線的簡單幾何性質(zhì)，利用拋物線的定義將點P到準線的距離轉(zhuǎn)化為點P到焦點的距離是關(guān)鍵，屬于中檔題．