Question

12．如圖，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PDC是正三角形，底面ABCD是邊長為$2\sqrt{3}$的菱形，∠DAB=120°，且側(cè)面PDC與底面垂直，M為PB的中點．
（1）求證：PA⊥CD；
（2）求三棱錐A-CDM的體積．

Answer 1

分析 （1）由已知結(jié)合面與面垂直的性質(zhì)可得CD⊥平面APO，再由線面垂直的定義得到PA⊥CD；
（2）由題意求得P到底面的距離，然后把三棱錐A-CDM的體積轉(zhuǎn)化為三棱錐M-ACD的體積求解．

解答 （1）證明：取DC的中點O，連接OP，OA，由△PDC是正三角形，有PO⊥DC
在菱形ABCD中，由于∠ADC=60°，$AD=2\sqrt{3}$，$OD=\sqrt{3}$，有AO⊥CD．
又PO⊥CD，OA∩OP=O，
則CD⊥平面APO，PA?平面APC，
即CD⊥PA；
（2）解：∵PO⊥CD，平面PCD⊥平面ABCD，
∴PO⊥底面ABCD，
∵PDC是正三角形，且PD=$2\sqrt{3}$，∴PO=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}=3$．
∵M是PB的中點，∴M到底面ABCD的距離$h=\frac{1}{2}PO=\frac{3}{2}$，
${V_{A-CDM}}={V_{M-ACD}}=\frac{1}{3}•{S_{△ACD}}•h=\frac{1}{3}×\frac{{\sqrt{3}}}{4}{（{2\sqrt{3}}）^2}×\frac{3}{2}=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$．

點評 本題考查平面與平面垂直的性質(zhì)，考查了多面體體積的求法，訓(xùn)練了等積法，是中檔題．