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12.如圖,四棱錐P-ABCD中,側(cè)面PDC是正三角形,底面ABCD是邊長為23的菱形,∠DAB=120°,且側(cè)面PDC與底面垂直,M為PB的中點.
(1)求證:PA⊥CD;
(2)求三棱錐A-CDM的體積.

分析 (1)由已知結(jié)合面與面垂直的性質(zhì)可得CD⊥平面APO,再由線面垂直的定義得到PA⊥CD;
(2)由題意求得P到底面的距離,然后把三棱錐A-CDM的體積轉(zhuǎn)化為三棱錐M-ACD的體積求解.

解答 (1)證明:取DC的中點O,連接OP,OA,由△PDC是正三角形,有PO⊥DC
在菱形ABCD中,由于∠ADC=60°,AD=23,OD=3,有AO⊥CD.
又PO⊥CD,OA∩OP=O,
則CD⊥平面APO,PA?平面APC,
即CD⊥PA;
(2)解:∵PO⊥CD,平面PCD⊥平面ABCD,
∴PO⊥底面ABCD,
∵PDC是正三角形,且PD=23,∴PO=23232=3
∵M是PB的中點,∴M到底面ABCD的距離h=12PO=32,
VACDM=VMACD=13SACDh=13×34232×32=332

點評 本題考查平面與平面垂直的性質(zhì),考查了多面體體積的求法,訓(xùn)練了等積法,是中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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命題q:函數(shù)y=-xsinx在區(qū)間[0,\frac{π}{2}]上單調(diào)遞減,
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