Question

3．已知函數(shù)y=x+$\frac{a}{x}$有如下性質(zhì)：當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)在（0，$\sqrt{a}$]單調(diào)遞減，在[$\sqrt{a}$，+∞）單調(diào)遞增．定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）=|t（x+$\frac{4}{x}$）-5|，其中t＞0．
（1）若函數(shù)f（x）分別在區(qū)間（0，2）和（2，+∞）上單調(diào)，求t的取值范圍
（2）當(dāng)t=1時(shí)，若方程f（x）-k=0有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x₁，x₂，x₃，x₄，求x₁+x₂+x₃+x₄的取值范圍
（3）當(dāng)t=1時(shí)，是否存在實(shí)數(shù)a，b且0＜a＜b≤2，使得f（x）在區(qū)間[a，b]上的取值范圍是[ma，mb]，若存在，求出實(shí)數(shù)m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意得4t-5≥0，由此能求出t的取值范圍．
（2）設(shè)x₁＜x₂＜x₃＜x₄，則x₁，x₄是方程（x-$\frac{4}{x}$）-5-k=0的兩個(gè)根，x₂，x₃是方程-（x+$\frac{4}{x}$）+5-k=0的兩根，由此能求出x₁+x₂+x₃+x₄的范圍．
（3）令f（x）=0，得x=1或x=4，推導(dǎo)出0＜a＜b＜1或1＜a＜b≤2．由此利用分類討論思想和構(gòu)造法能求出存在滿足條件的a，b，此時(shí)m的取值范圍是[$\frac{1}{2}$，$\frac{9}{16}$）．

解答 解：（1）由題意得y=t（x+$\frac{4}{x}$）-5在（0，2]遞減，取值范圍是[4t-5，+∞），
在[2，+∞）遞增，取值范圍是[4t-5，+∞），
∴4t-5≥0，解得t≥$\frac{5}{4}$，
∴t的取值范圍是[$\frac{5}{4}$，+∞）．
（2）t=1時(shí)，方程有四個(gè)不等實(shí)數(shù)根x₁，x₂，x₃，x₄，設(shè)x₁＜x₂＜x₃＜x₄，
則x₁，x₄是方程（x-$\frac{4}{x}$）-5-k=0的兩個(gè)根，
整理，得x²-（5+k）x+4=0，∴x₁+x₄=5+k，
同理，x₂，x₃是方程-（x+$\frac{4}{x}$）+5-k=0的兩根，
整理，得x²-（5-k）x+4=0，∴x₃+x₄=5-k，
∴x₁+x₂+x₃+x₄=10．
（3）令f（x）=0，得x=1或x=4，
由a＜b，ma＜mb，得m＞0，
若1∈[a，b]，則ma=0，矛盾．
故0＜a＜b＜1或1＜a＜b≤2．
當(dāng)0＜a＜b＜1時(shí)，f（a）=mb，f（b）=ma，
$\left\{\begin{array}{l}{a+\frac{4}{a}-5=mb}\\{b+\frac{4}-5=ma}\end{array}\right.$，消m，得a+b=5，矛盾．
當(dāng)1＜a＜b≤2時(shí)，f（a）=ma，f（b）=mb，
$\left\{\begin{array}{l}{-a-\frac{4}{a}+5=ma}\\{-b-\frac{4}+5=mb}\end{array}\right.$，即a，b是方程（m+1）x²-5x+4=0在（1，2]上兩個(gè)不等根，
記g（x）=（m+1）x²-5x+4，
則$\left\{\begin{array}{l}{g（1）＞0}\\{g（2）＞0}\\{25-16（m+1）＞0}\\{1＜\frac{5}{2（m+1）}＜2}\end{array}\right.$，解得$\frac{1}{2}≤m＜\frac{9}{16}$，
綜上所述，存在滿足條件的a，b，此時(shí)m的取值范圍是[$\frac{1}{2}$，$\frac{9}{16}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分類討論思想、構(gòu)造法、函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．