Question

已知等比數(shù)列{a_n}，且a₄+a₈=

∫

2 0

4-x2

dx，則a₆（a₂+2a₆+a₁₀）的值為（　�。�

• A、π²
• B、4
• C、π
• D、-9π

Answer 1

考點(diǎn)：定積分,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，由

∫

2 0

4-x2

dx表示圓的x²+y²=4的面積的

1

4

，可得

∫

2 0

4-x2

dx=π．由于a₄+a₈=

∫

2 0

4-x2

dx=π=

a6

q2

+a6q2，可得a₆（a₂+2a₆+a₁₀）=

a

2 6

(

1

q2

+q2)2=π²．

解答： 解：設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，
∵

∫

2 0

4-x2

dx表示圓的x²+y²=4的面積的

1

4

，∴

∫

2 0

4-x2

dx=

1

4

×π×22=π．
∴a₄+a₈=

∫

2 0

4-x2

dx=π=

a6

q2

+a6q2，
∴a₆（a₂+2a₆+a₁₀）=a6(

a6

q4

+2a6+a6q4)=

a

2 6

(

1

q2

+q2)2=π²．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了定積分的幾何意義、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．