Question

已知函數f(x)=

x

x+1

，
（1）用函數單調性定義證明：f（x）在（-1，+∞）是增函數；
（2）試求f(x)=

2x

2x+1

在區(qū)間[1，2]上的最大值與最小值．

Answer 1

分析：（1）任取x₁，x₂∈（-1，+∞），且x₁＜x₂，討論f（x₁）-f（x₂）的符號，進而根據函數單調性的定義可得答案．
（2）令t=2^x，則t∈[2，4]，根據（1）的定義，分析出函數g(t)=

t

t+1

在[2，4]的單調性，進而可得函數的最值．

解答：解：（1）任取x₁，x₂∈（-1，+∞），且x₁＜x₂，
則f(x1)-f(x2)=(1-

1

x1+1

)-(1-

1

x2+1

)=

1

x2+1

-

1

x1+1

=

x1-x2

(x1+1)(x2+1)

∵x₁，x₂∈（-1，+∞），且x₁＜x₂，
∴x₁+1＞0，x₂+1＞0，x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）為（-1，+∞）上的增函數．
（2）令t=2^x，則t∈[2，4]，
由（1）可知g(t)=

t

t+1

在[2，4]上為增函數，
則fmin=g(2)=

2

3

，
fmax=g(4)=

4

5

．

點評：本題考查的知識點是函數單調性的性質，函數單調性的證明與應用，其中熟練掌握定義法證明函數單調性的方法和步驟是解答的關鍵．