Question

6．已知函數(shù)f（x）=3x-2，x∈R．規(guī)定：給定一個實數(shù)x₀，賦值x₁=f（x₀），若x₁≤244，則繼續(xù)賦值x₂=f（x₁），…，以此類推，若x_n-1≤244，則x_n=f（x_n-1），否則停止賦值，如果得到x_n稱為賦值了n次（n∈N^*）．已知賦值8次后該過程停止，則x₀的取值范圍是$\frac{28}{27}＜{x_0}≤\frac{10}{9}$．

Answer 1

分析 根據(jù)條件進行歸納得到x₀滿足x_k-1=3x_k-2-2=3^k-1x₀-2×3^k-2≤244，x_k=3x_k-1-2=3^kx₀-2×3^k-1＞244，解不等式組，令k=8即可得到答案．

解答 解：x₁=3x₀-2
x₂=3x₁-2=3²x₀-2×3-2
x₃=3x₂-2=3³x₀-2×3²-2×3-2
…
x_k=3x_k-1-2=3^kx₀-2×3^k-1…-2×3-2
=3^kx₀-2×（3^k-1 +…+3+1）
=3^kx₀-3^k+1
若賦值k次后該過程停止，則x₀的滿足
x_k-1=3x_k-2-2=3^k-1x₀-3^k-1+1≤244
x_k=3x_k-1-2=3^kx₀-3^k+1＞244
解得x₀∈（3^5-k+1，3^6-k+1]，（k∈N^*）．
則當k=8時，x₀∈（3^5-8+1，3^6-8+1]，
即$\frac{28}{27}＜{x_0}≤\frac{10}{9}$，
故答案為：$\frac{28}{27}＜{x_0}≤\frac{10}{9}$

點評 本題主要考查歸納推理的應用，其中根據(jù)已知條件中的定義，得到x₀的滿足的不等式組，是解答本題的關(guān)鍵．考查學生的運算和推理能力．