Question

如圖，在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA₁＝1.D是棱CC₁上的中點(diǎn)，P是AD的延長(zhǎng)線與A₁C₁的延長(zhǎng)線的交點(diǎn).
(1)求二面角A－A₁D－B的平面角的余弦值；
(2)求點(diǎn)C到平面B₁DP的距離．

Answer 1

（1）；（2）見解析.

本試題主要考查了立體幾何中二面角的求解和點(diǎn)到面的距離的綜合運(yùn)用。
解：如圖，以A₁為原點(diǎn)，A₁B₁，A₁C₁，A₁A所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A₁(0,0,0)，B₁(1,0,0)，C₁(0，1,0)，B(1,0,1)．D(0,1,)

設(shè)平面BA₁D的一個(gè)法向量為n₁＝(x，y，z)，
解得
取,得n₁＝(2，－1，2)．
又n₂＝(1,0,0)為平面AA₁D的一個(gè)法向量，
∴cos〈n₁·n₂〉＝＝＝.
故二面角A－A₁D－B的平面角的余弦值為.
(3)∵＝(1，－2,0)，＝，
設(shè)平面B₁DP的一個(gè)法向量為n₃＝(a₁，b₁，c₁)．

令c₁＝1，可得n₃＝.
又＝，
∴C到平面B₁DP的距離d＝＝.