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對于函數f（x），若存在x0∈R，使得f（x0）=x0，則稱x0為函數f（x）的不動點，若函數數學公式有且僅有兩個不動點0和2，且數學公式．
（1）試求函數f（x）的表達式；
（2）已知各項不為0的數列{an}滿足數學公式，其中Sn表示數列{an}的前n項和，求數列{an}的通項公式．

解：（1）設=x?（1-b）x2+cx+a=0有兩個不等實根0和2
?a=0且2b-c=2且b≠1
?f（x）=．
由f（-2）＜-?-1＜c＜3
?c=2，b=2?f（x）=（x≠1）．
（2）由已知，
可得2Sn=an-an2，
當n≥2時，2Sn-1=an-1-an-12，
兩式相減得an=-an-1，或an-an-1=-1．
當n=1時，a1=-1，
由an=-an-1?a2=1不在定義域范圍內應舍去，
故an-an-1=-1?an=-n．
分析：（1）利用函數f（x）=x的不動點，推出a，b，c的關系，通過，結合b，c∈N*，求出b，c，得到函數的表達式；
（2）通過，推出2Sn=an-an2，通過Sn-Sn-1=an，求數列{an}的通項公式．
點評：本題是中檔題，考查數列與函數的綜合問題，數列通項公式的求法，函數的基本性質的應用，考查邏輯推理能力，計算能力．
練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

對于函數f（x），若存在區(qū)間M=[a，b]（其中a＜b），使得{y|y=f（x），x∈M}=M，則稱區(qū)間M為函數f（x）的一個“穩(wěn)定區(qū)間”．給出下列4個函數：
①f（x）=（x-1）2；②f（x）=|2x-1|；③f(x)=cos
π2
x；④f（x）=ex．其中存在“穩(wěn)定區(qū)間”的函數有
 
（填出所有滿足條件的函數序號）

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科目：高中數學 來源： 題型：

對于函數f（x），若在其定義域內存在兩個實數a，b（a＜b），使當x∈[a，b]時，f（x）的值域也是[a，b]，則稱函數f（x）為“科比函數”．若函數f（x）=k+
x+2
是“科比函數”，則實數k的取值范圍是
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

對于函數f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，則稱x0為f（x）的不動點．如果函數
f（x）=ax2+bx+1（a＞0）有兩個相異的不動點x1，x2．
（1）若x1＜1＜x2，且f（x）的圖象關于直線x=m對稱，求證：
12
＜m＜1；
（2）若|x1|＜2且|x1-x2|=2，求b的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

對于函數f（x），若f（x0）=x0，則稱x0為f（x）的：“不動點”；若f[f（x0）]=x0，則稱x0為f（x）的“穩(wěn)定點”．函數f（x）的“不動點”和“穩(wěn)定點”的集合分別記為A和B，即A={x|f[f（x）]=x}．
（1）設函數f（x）=ax2+bx+c（a≠0），且A=∅，求證：B=∅；
（2）設函數f（x）=3x+4，求集合A和B，并分析能否根據（1）（2）中的結論判斷A=B恒成立？若能，請給出證明，若不能，請舉以反例．

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科目：高中數學 來源： 題型：

對于函數f（x），若存在x0∈R，使得f（x0）=x0，則稱x0為函數f（x）的不動點．若函數f（x）=
x2+a
bx-c
（b，c∈N*）有且僅有兩個不動點0和2，且f（-2）＜-
1
2
．
（1）試求函數f（x）的單調區(qū)間，
（2）已知各項不為0的數列{an}滿足4Sn•f（
1
an
）=1，其中Sn表示數列{an}的前n項和，求證：(1-
1
an
)an+1＜
1
e
＜(1-
1
an
)an
（3）在（2）的前題條件下，設bn=-
1
an
，Tn表示數列{bn}的前n項和，求證：T2011-1＜ln2011＜T2010．

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