Question

已知函數(shù)在（-∞，0）上是減函數(shù)，在（0，1）上是增函數(shù)，函數(shù)在R上有三個零點，且1是其中一個零點。

（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的取值范圍；

（Ⅲ）設，且的解集為（-∞，1），求實數(shù)的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

（I）b=0；(II)（）；（Ⅲ） 。

【解析】

試題分析：（I）因為所以，因為f(x)在（-∞，0）上是減函數(shù)，在（0，1）上是增函數(shù)，所以單x=0時，f(x)取得極小值，即=0，得到b=0；

(II)由（I）知因為1是函數(shù)f(x的一個零點，即f(1)=0，所以c=1-a。

又的兩根分別為0，。在（0，1）上是增函數(shù)，函數(shù)在R上有三個零點，所以>1,即a>,f（2）=－8+4a+(1－a)=3a－7>,故的取值范圍是（）。

（Ⅲ）解法1：由（Ⅱ）知，且．

∵1是函數(shù)的一個零點，∴，∵∴，

∴點是函數(shù)和函數(shù)的圖像的一個交點．              10分

結(jié)合函數(shù)和函數(shù)的圖像及其增減特征可知，當且僅當函數(shù)和函數(shù)的圖像只有一個交點時，的解集為．

即方程組（１）只有一個解．     11分

由，得．

即．

即．

∴或．     12分

由方程， （２）

得．∵，

當，即，解得           13分

此時方程（２）無實數(shù)解，方程組（１）只有一個解．

所以時，的解集為．       14分

（Ⅲ）解法2：由（Ⅱ）知，且．

∵1是函數(shù)的一個零點 

又的解集為，

.10分

                11分

               12分

   14分

考點：本題主要考查函數(shù)零點的概念，應用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值及不等式中參數(shù)范圍的確定，一元二次不等式的解法。

點評：典型題，本題屬于導數(shù)應用中的基本問題，通過研究函數(shù)的單調(diào)性、極值情況，確定得到待定系數(shù)b。根據(jù)函數(shù)零點情況，得到a的范圍。（III）中解法較多，當轉(zhuǎn)化成“恒成立問題”后，利用“<0”確定了a的范圍。本題較難。