Question

如圖，在Rt△ABC中，∠BAC、∠ABC、∠ACB成等差數(shù)列，且AB=4，D點(diǎn)是斜邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，以AD為折痕，將△ABD折到與△ADC的同一個(gè)平面內(nèi)，B變?yōu)锽₁，設(shè)∠BAD=θ．
（1）求BD的長(zhǎng)；
（2）求B₁C的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：解三角形的實(shí)際應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,解三角形

分析：（1）根據(jù)Rt△ABC中，∠BAC、∠ABC、∠ACB成等差數(shù)列，可得∠ABC=60°，∠BAC=90°，∠ACB=30°，利用正弦定理，可求BD的長(zhǎng)；
（2）求出∠B₁BC，由三角形性質(zhì)知，邊所對(duì)應(yīng)角最小時(shí)，邊長(zhǎng)最小，故當(dāng)∠B₁BC=θ-30°=0時(shí)，即可求B₁C的最小值．

解答： 解：（1）∵Rt△ABC中，∠BAC、∠ABC、∠ACB成等差數(shù)列，
∴2∠ABC=∠BAC+∠ACB，
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=90°，
∴∠ABC=60°，∠BAC=90°，∠ACB=30°
又∵AB=4，∠BAD=θ
∴根據(jù)正弦定理

4

sin(180°-60°-θ)

=

BD

sinθ

即BD=

4sinθ

sin(120°-θ)

，
（2）以AD為折痕，將△ABD折到與△ADC到同一個(gè)平面內(nèi)，則AB=AB₁，∠BAD=∠B₁AD=θ
∴∠B₁BC=

60°-(180°-2θ)

2

=θ-30°
由三角形性質(zhì)知，邊所對(duì)應(yīng)角最小時(shí)，邊長(zhǎng)最小，故當(dāng)∠B₁BC=θ-30°=0時(shí)，B₁C最小
即θ=30°
可知AD⊥BC，BD=2
則BB₁=4，得出B₁C=BC-BB₁=4，
∴B₁C的最小值為4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，考查正弦定理，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．