Question

17．設(shè)平面上有直線L：y=2x，曲線C：y=$\frac{1}{2}$x³．又有下列方式定義數(shù)列{a_n}：
（1）a₁=$\frac{1}{2}$；
（2）當(dāng)給定a_n后，作過點(diǎn)（a_n，0）且與y軸平行的直線，它與l的交點(diǎn)記為P_n，再過點(diǎn)P_n且與x軸平行的直線，它與C的交點(diǎn)記為Q_n，定義a_n+1為Q_n的橫坐標(biāo)．試求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)．

Answer 1

分析 由點(diǎn)P_n與Q_n的坐標(biāo)關(guān)系得到數(shù)列遞推式，兩邊取對(duì)數(shù)可得數(shù)列{$lg\frac{{a}_{n}}{2}$}構(gòu)成以$lg\frac{1}{4}=-2lg2$為首項(xiàng)，以$\frac{1}{3}$為公比的等比數(shù)列，求得等比數(shù)列的通項(xiàng)公式后由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)．

解答 解：由題意可知，a₁=$\frac{1}{2}$，
P_n的橫坐標(biāo)為a_n，縱坐標(biāo)為2a_n，則Q_n的縱坐標(biāo)為2a_n，
∴Q_n的橫坐標(biāo)為$\root{3}{4{a}_{n}}$，即${a}_{n+1}=\root{3}{4{a}_{n}}$，
∴${{a}_{n+1}}^{3}=4{a}_{n}$，
兩邊取對(duì)數(shù)得：3lga_n+1=lga_n+2lg2，
即$lg{a}_{n+1}=\frac{1}{3}lg{a}_{n}+\frac{2}{3}lg2$，化為$lg{a}_{n+1}-lg2=\frac{1}{3}（lg{a}_{n}-lg2）$，
即$lg\frac{{a}_{n+1}}{2}=\frac{1}{3}lg\frac{{a}_{n}}{2}$，
∴數(shù)列{$lg\frac{{a}_{n}}{2}$}構(gòu)成以$lg\frac{1}{4}=-2lg2$為首項(xiàng)，以$\frac{1}{3}$為公比的等比數(shù)列，
∴$lg\frac{{a}_{n}}{2}=-2（\frac{1}{3}）^{n-1}lg2$=$lg{2}^{-2（\frac{1}{3}）^{n-1}}$，
則$\frac{{a}_{n}}{2}={2}^{-2（\frac{1}{3}）^{n-1}}$，
∴${a}_{n}={2}^{1-2（\frac{1}{3}）^{n-1}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，考查等比關(guān)系的確定，由題意求得數(shù)列遞推式是解答該題的關(guān)鍵，是中檔題．