Question

（2012•臨沂二模）某高中學(xué)校為了推進(jìn)課程改革，滿足不同層次學(xué)生的需求，決定從高一開(kāi)始，在每周的周一、周三、周五的課外活動(dòng)期間同時(shí)開(kāi)設(shè)數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)和生物輔導(dǎo)講座，每位有興趣的同學(xué)可以在期間的任何一天參加任何一門科目的輔導(dǎo)講座，也可以放棄任何一門科目的輔導(dǎo)講座（規(guī)定：各科達(dá)到預(yù)先設(shè)定的人數(shù)時(shí)為滿座，否則成為不滿座），統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表明，各學(xué)科講座各天的滿座概率如下表：

	生物	化學(xué)	物理	數(shù)學(xué)
周一	1 4	1 4	1 3	1 2
周三	1 3	1 2	1 2	2 3
周五	1 3	1 3	1 2	2 3

根據(jù)表：
（Ⅰ）求數(shù)學(xué)輔導(dǎo)講座在周一、周三、周五都不滿座的概率；
（Ⅱ）設(shè)周三各輔導(dǎo)講座滿座的科目數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)數(shù)學(xué)輔導(dǎo)講座在周一、周三、周五都不滿座為事件A，利用對(duì)立事件和獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算公式能夠求出數(shù)學(xué)輔導(dǎo)講座在周一、周三、周五都不滿座的概率．
（Ⅱ）ξ的可能取值為0，1，2，3，4，分別求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），P（ξ=4），由此能求出隨機(jī)變量ξ的分布列和Eξ．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)數(shù)學(xué)輔導(dǎo)講座在周一、周三、周五都不滿座為事件A，
則P（A）=（1-

1

2

）×（1-

2

3

）×（1-

2

3

）=

1

18

．
（Ⅱ）ξ的可能取值為0，1，2，3，4，
P（ξ=0）=（1-

1

3

）×（1-

1

2

）²×（1-

2

3

）=

1

18

，
P（ξ=1）=

1

3

×(1-

1

2

)2×(1-

2

3

)+2×

1

2

×(1-

1

2

)×(1-

1

3

)×(1-

2

3

)+

2

3

×(1-

1

3

)×(1-

1

2

)2=

1

4

，
P（ξ=2）=(

1

2

)2×(1-

1

3

)×(1-

2

3

)+2×

1

2

×(1-

1

2

)×

1

3

×(1-

2

3

)+2×（1-

1

2

×(1-

1

2

)×

2

3

×(1-

1

3

)+

1

3

×

2

3

×(1-

1

2

)2=

7

18

，
P（ξ=3）=2×

1

2

×(1-

1

2

)×

1

3

×

2

3

+

1

2

×

1

2

×

1

3

×(1-

2

3

)×(1-

1

3

)=

1

4

，
P（ξ=4）=

1

3

×

1

2

×

1

2

×

2

3

=

1

18

．
∴隨機(jī)變量ξ的分布列如下：

ξ	0	1	2	3	4
P	1 18	1 4	7 18	1 4	1 18

故Eξ=0×

1

18

+1×

1

4

+2×

7

18

+3×

1

4

+4×

1

18

=2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散隨機(jī)變量的概率分布列和數(shù)學(xué)期望，是歷年高考的必考題型之一．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識(shí)和概率知識(shí)的靈活運(yùn)用．