Question

已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，一條漸近線方程，右焦點(diǎn)F（5，0），雙曲線的實(shí)軸為A₁A₂，P為雙曲線上一點(diǎn)（不同于A₁，A₂），直線A₁P、A₂P分別與直線l：交于M、N兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求雙曲線的方程；
（Ⅱ）求證：•為定值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先設(shè)雙曲線方程為：，根據(jù)題意可得關(guān)于a、b的方程組，解可得答案；
（Ⅱ）根據(jù)題意，易得A₁、A₂、F的坐標(biāo)，設(shè)P（x，y）、M（），易得向量，，又由共線向量的坐標(biāo)運(yùn)算，可得M的坐標(biāo)，進(jìn)而可得N的坐標(biāo)，
由此可得：與的坐標(biāo)，即可得；結(jié)合雙曲線的方程，代換可得證明．
解答：解：（Ⅰ）依題意可設(shè)雙曲線方程為：，
則
∴所求雙曲線方程為

（Ⅱ）A₁（-3，0）、A₂（3，0）、F（5，0），設(shè)P（x，y），M（），
，，
∵A₁、P、M三點(diǎn)共線，
∴∴即，
同理得，
，，
則
∵，
∴；
∴，即（定值）
點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的有關(guān)性質(zhì)，（Ⅱ）的證明運(yùn)用了坐標(biāo)法，結(jié)合向量的數(shù)量積的運(yùn)算，是典型的解析幾何方法，需要加強(qiáng)訓(xùn)練．