Question

【題目】已知函數(shù) ，常數(shù)a＞0．
（1）設mn＞0，證明：函數(shù)f（x）在[m，n]上單調(diào)遞增；
（2）設0＜m＜n且f（x）的定義域和值域都是[m，n]，求常數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：任取x1，x2∈[m，n]，且x1＜x2， ，

因為x1＜x2，x1，x2∈[m，n]，所以x1x2＞0，即f（x1）＜f（x2），

故f（x）在[m，n]上單調(diào)遞增

（2）解：因為f（x）在[m，n]上單調(diào)遞增，

f（x）的定義域、值域都是[m，n]f（m）=m，f（n）=n，

即m，n是方程 的兩個不等的正根a2x2﹣（2a2+a）x+1=0有兩個不等的正根．

所以△=（2a2+a）2﹣4a2＞0，

【解析】（1）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的定義，進行設值著差，即可證明出結(jié)論，（2）由于f（x）的定義域和值域都是[m，n]，且f（x）單調(diào)遞增，故一定有f（m）=m，f（n）=n，不難得出m，n是方程 的兩個不等的正根,列出關系式可得a的取值范圍.
【考點精析】本題主要考查了函數(shù)的值域和函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)的相關知識點，需要掌握求函數(shù)值域的方法和求函數(shù)最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數(shù)的值域中存在一個最�。ù螅�數(shù)，這個數(shù)就是函數(shù)的最�。ù螅┲担�因此求函數(shù)的最值與值域，其實質(zhì)是相同的；函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間 ,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集才能正確解答此題．