Question

如圖，在三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，C₁C⊥底面ABC，AC＝BC＝CC₁＝2，AC⊥BC，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn).

（1）求證：AC₁∥平面CDB₁；
（2）求四面體B₁C₁CD的體積.

Answer 1

（1）證明過程詳見試題解析；（2）三棱錐D－B₁C₁C的體積為.

試題分析：（1）連接BC₁，設(shè)BC₁與B₁C的交點(diǎn)為E，連接DE，證得DE∥AC₁；由線面平行的判定定理即可證明AC₁∥平面CDB₁；（2）在平面ABC內(nèi)作DF⊥BC于點(diǎn)F，可以證明DF是三棱錐D－CC₁B₁的高，再由錐體體積公式即可求解.
試題解析：
（1）證明：連結(jié)BC₁，設(shè)BC₁與B₁C的交點(diǎn)為E，連結(jié)DE.

∵三棱柱ABC－A₁B₁C₁，CC₁⊥底面ABC，CC₁＝BC＝2，
∴四邊形BCC₁B₁為正方形.   ∴E為BC₁中點(diǎn).
∵D是AB的中點(diǎn)，  ∴DE∥AC₁.
∵DE平面CDB₁，AC₁平面CDB₁，
∴AC₁∥平面CDB₁.              4分
（2）在平面ABC內(nèi)作DF⊥BC于點(diǎn)F，
∵CC₁⊥平面ACB , DF平面ACB，
∴CC₁⊥DF.
∵BCCC₁＝C
∴DF⊥平面BCC₁B₁.
∴DF是三棱錐D－CC₁B₁的高，
∵AC＝BC＝CC₁＝2
∴  DF＝1.
∴四面體B₁C₁CD的體積為.                     9分