Question

已知實數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，其中a₇=1，且a₄，a₅+1，a₆成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）數(shù)列{a_n}的前n項和記為S_n，證明：S_n＜128（n=1，2，3，…）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，根據(jù)a₇=求得a₁和q的關(guān)系，進而根據(jù)a₄，4₅+1，a₅成等差數(shù)列．求得q，進而求得a₁，則等比數(shù)列的餓通項公式可得．
（Ⅱ）根據(jù)等比數(shù)列的求和公式，求得Sn=128[1-(

1

2

)n]，根據(jù)1-(

1

2

)n＜1，進而使原式得證．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q（q∈R），
由a₇=a₁q⁶=1，得a₁=q^-6，從而a₄=a₁q³=q^-3，a₅=a₁q⁴=q^-2，a₆=a₁q⁵=q^-1．
因為a₄，a₅+1，a₆成等差數(shù)列，所以a₄+a₆=2（a₅+1），
即q^-3+q^-1=2（q^-2+1），q^-1（q^-2+1）=2（q^-2+1）．
所以q=

1

2

．故an=a1qn-1=q-6•qn-1=64(

1

2

)n-1．
（Ⅱ）Sn=

a1(1-qn)

1-q

=

64[1-( 1 2 )n]

1- 1 2

=128[1-(

1

2

)n]＜128．

點評：本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)．屬基礎(chǔ)題．