Question

已知n∈N^*，數(shù)列{d_n}滿足d_n=

3+(-1)n

2

，數(shù)列{a_n}滿足a_n=d₁+d₂+d₃+…+d_2n；又知數(shù)列{b_n}中，b₁=2，且對任意正整數(shù)m，n，b_n^m=b_mⁿ．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}和數(shù)列{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）將數(shù)列{b_n}中的第a₁項，第a₂項，第a₃項，…，第a_n項，…刪去后，剩余的項按從小到大的順序排成新數(shù)列{c_n}，求數(shù)列{c_n}前2014項的和T₂₀₁₄．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）直接根據(jù)函數(shù)的解析式求出數(shù)列的通項公式．
（Ⅱ）根據(jù)上部的結論利用分類求出數(shù)列的和．

解答： 解：（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)關系式：
∵dn=

3+(-1)n

2

，
∴a_n=d₁+d₂+d₃+…+d_2n=

3×2n

2

=3n
又由題知：
令m=1，則b2=

b

2 1

=22，b3=

b

3 1

=23
bn=

b

n 1

=2n
若bn=2n，
則：

b

m n

=2nm，

b

n m

=2mn，
所以

b

m n

=

b

n m

恒成立
若bn≠2n，
當m=1，

b

m n

=

b

n m

不成立，
所以bn=2n
（Ⅱ）由題知將數(shù)列{b_n}中的第3項、第6項、第9項…刪去后構成的新數(shù)列{c_n}中的奇數(shù)列與偶數(shù)列仍成等比數(shù)列，首項分別是b₁=2，b₂=4公比均是8，
T₂₀₄₁=（c₁+c₃+…+c₂₀₁₃）+（c₂+c₄+…+c₂₀₁₄）
=

2×(1-81007)

1-8

+

4×(1-81007)

1-8

=

6×81007-6

7

點評：本題考察的知識要點：求函數(shù)的通項公式，數(shù)列的求和，屬于基礎題型．