Question

已知函數(shù)f(x)=2cos

x

2

(

3

cos

x

2

-sin

x

2

)，在△ABC中，AB=1，f(C)=

3

+1，且△ABC的面積為

3

2

，求sinA•sinB的值．

Answer 1

分析：利用乘法分配律將括號外邊的乘到括號里邊，利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡，整理后再利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的余弦函數(shù)，由f（C）=

3

+1，將x=C代入得到的解析式中，整理后得到cos（C+

π

6

）的值，利用余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)及特殊角的三角函數(shù)值求出C的集合，由C為三角形的內(nèi)角，得到C的度數(shù)，進而確定出sinC的值，利用三角形的面積公式表示出三角形ABC的面積，將sinC的值代入求出ab的值，再由AB，即c的長，利用正弦定理用a表示出sinA，用b表示出sinB，將sinA和sinB代入所求的式子中，再將ab的值代入即可求出值．

解答：解：f（x）=2cos

x

2

（

3

cos

x

2

-sin

x

2

）
=2

3

cos²

x

2

-2sin

x

2

cos

x

2

=

3

（1+cosx）-sinx
=

3

cosx-sinx+

3

=2cos（x+

π

6

）+

3

，
由f（C）=2cos（C+

π

6

）+

3

=

3

+1，得cos（C+

π

6

）=

1

2

，
∴C+

π

6

=2kπ±

π

3

（k∈Z），
又C∈（0，π），∴C=

π

6

，
∵S_△ABC=

1

2

absinC=

3

2

，∴ab=2

3

，
∵AB=c=1，sinC=

1

2

，
∴由正弦定理得：

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2，
∴sinA=

a

2

，sinB=

b

2

，
則sinA•sinB=

ab

4

=

3

2

．

點評：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識有：二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，兩角和與差的余弦函數(shù)公式，余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，三角形的面積公式，正弦定理，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握公式及定理是解本題的關鍵．