Question

12．已知兩個(gè)非零平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足：對(duì)任意λ∈R恒有|$\overrightarrow{a}$-λ$\overrightarrow$|≥|$\overrightarrow{a}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow$|，若|$\overrightarrow$|=4，則$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=8．

Answer 1

分析 對(duì)不等式$|\overrightarrow{a}-λ\overrightarrow|≥|\overrightarrow{a}-\frac{1}{2}\overrightarrow|$兩邊平方并進(jìn)行向量的數(shù)量積的運(yùn)算便可以得到$16{λ}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrowλ+\overrightarrow{a}•\overrightarrow-4≥0$，根據(jù)題意知該不等式對(duì)于任意λ∈R恒成立，從而有$△=4（\overrightarrow{a}•\overrightarrow-8）^{2}≤0$，這樣即可得出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$的值．

解答 解：由$|\overrightarrow{a}-λ\overrightarrow|≥|\overrightarrow{a}-\frac{1}{2}\overrightarrow|$得：$（\overrightarrow{a}-λ\overrightarrow）^{2}≥（\overrightarrow{a}-\frac{1}{2}\overrightarrow）^{2}$，且$|\overrightarrow|=4$；
∴$-2λ\overrightarrow{a}•\overrightarrow+16{λ}^{2}≥-\overrightarrow{a}•\overrightarrow+4$；
整理得，$16{λ}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrowλ+\overrightarrow{a}•\overrightarrow-4≥0$，該不等式對(duì)任意的λ∈R恒成立；
∴$△=4（\overrightarrow{a}•\overrightarrow）^{2}-64（\overrightarrow{a}•\overrightarrow-4）$=$4（\overrightarrow{a}•\overrightarrow-8）^{2}≤0$；
∴$（\overrightarrow{a}•\overrightarrow-8）^{2}=0$；
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=8$．
故答案為：8．

點(diǎn)評(píng) 考查不等式得到性質(zhì)，向量的數(shù)量積的運(yùn)算，以及二次函數(shù)的取值情況和判別式△的關(guān)系，完全平方式的運(yùn)用．