Question

2．若函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}a{x^3}+\frac{1}{2}（b-8）{x^2}$+2x（a＞0，b≥0）在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞減，則a（b-1）的最大值為（　�。�

• A． 4
• B． $\frac{19}{4}$
• C． $\frac{9}{2}$
• D． $\frac{25}{4}$

Answer 1

分析 求得f（x）的導數(shù)，由題意可得f′（x）≤0在區(qū)間[1，2]上恒成立，可得，作出不等式組在第四象限的可行域，再由目標函數(shù)表示的雙曲線，結(jié)合直線與雙曲線相切，求得導數(shù)，設(shè)出切點，解方程可得切點，進而得到所求最大值．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$ax³+$\frac{1}{2}$（b-8）x²+2x（a＞0，b≥0），
f′（x）=ax²+（b-8）x+2，
由題意可得f′（x）≤0在區(qū)間[1，2]上恒成立，
即有 $\left\{\begin{array}{l}{f′（1）≤0}\\{f′（2）≤0}\end{array}\right.$，即為 $\left\{\begin{array}{l}{a+b≤6}\\{2a+b≤7}\end{array}\right.$，（*）
以（a，b）為坐標，作出不等式組（*）在第一象限的可行域，如圖：
令t=a（b-1），可得b=$\frac{t}{a}$+1，此函數(shù)的圖象為雙曲線，
當直線b=7-2a與雙曲線b=$\frac{t}{a}$+1相切時，t取得最大值，
由$\left\{\begin{array}{l}{b=7-2t}\\{b=\frac{t}{a}+1}\end{array}\right.$得：2a²-6a+t=0，
△=36-8t=0，
解得t=$\frac{9}{2}$，
故選：C．

點評 本題考查導數(shù)的運用：判斷單調(diào)性和運用，同時考查不等式組表示的平面區(qū)域，及目標函數(shù)的最值的求法，注意運用數(shù)形結(jié)合的思想方法，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．