Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各條棱長都相等，且CC₁⊥底面ABC，則異面直線BC₁與AC所成角的余弦值為________．

Answer 1

分析：連接A₁B，設該三棱柱的棱長為1，根據棱柱的性質可證出∠A₁C₁B（或其補角）就是異面直線BC₁與AC所成的角．因為CC₁⊥底面ABC，所以四邊形B₁C₁CB和四邊形B₁A₁AB都是邊長為1的正方形，可得A₁B=BC₁=，最后在△A₁C₁B中運用由余弦定理即可算出BC₁與AC所成角的余弦值．
解答：連接A₁B，設該三棱柱的棱長為1，
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC∥A₁C₁
∴∠A₁C₁B（或其補角）就是異面直線BC₁與AC所成的角
∵CC₁⊥底面ABC，
∴三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，可得四邊形B₁C₁CB是矩形
∵BC=CC₁=1，∴BC₁=，同理可得A₁B=
△A₁C₁B中，由余弦定理得：cos∠A₁C₁B==
即異面直線BC₁與AC所成角的余弦值為
故答案為：
點評：本題在所有棱長都相等的正三棱柱中，求底面一邊與面對角線所在直線所成角余弦，著重考查了直棱柱的性質和異面直線所成的角的求法等知識，屬于基礎題．