Question

15．已知函數f（x）是定義在R上的奇函數，當x≤0時，f（x）=$\frac{2x}{x-1}$
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在區(qū)間[2，6]上的最大值和最小值；
（3）解不等式f[lgx+1g（x-3）]＞f（1）．

Answer 1

分析 （1）通過設x＞0，利用f（x）=-f（-x）及當x≤0時f（x）=$\frac{2x}{x-1}$化簡即得結論；
（2）通過（1）可知，當x＞0時f（x）為減函數，進而計算可得結論；
（3）通過（1）可知函數f（x）在R上單調遞減，則問題轉化為lgx+1g（x-3）＜1，進而只需解不等式0＜x（x-3）＜10，結合定義域計算即得結論．

解答 解：（1）設x＞0，則-x＜0，
依題意，f（x）=-f（-x）=-$\frac{-2x}{-x-1}$=$\frac{2x}{-x-1}$，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2x}{x-1}，}&{x≤0}\\{\frac{2x}{-x-1}，}&{x＞0}\end{array}\right.$；
（2）由（1）可知，f（x）=$\frac{2x}{-x-1}$=-2+$\frac{2}{x+1}$（x＞0），
∴當x＞0時，f（x）為減函數，
∴在區(qū)間[2，6]上的最大值和最小值分別為：f（2）=-$\frac{4}{3}$，f（6）=-$\frac{12}{7}$；
（3）由（1）可知，函數f（x）在R上單調遞減，
則f[lgx+1g（x-3）]＞f（1）等價于lgx+1g（x-3）＜1，
∴l(xiāng)g[x（x-3）]＜lg10，
又∵函數y=lgx在（0，+∞）上單調遞增，
∴0＜x（x-3）＜10，
解得：-2＜x＜0或3＜x＜5，
又∵x＞0，且x-3＞0，
∴3＜x＜5．

點評 本題考查函數的最值及其幾何意義，涉及函數的單調性、函數的奇偶性、解不等式等基礎知識，注意解題方法的積累，屬于中檔題．