Question

已知數(shù)列）．
（1）試求a的取值范圍，使得a_n+1＞a_n恒成立；
（2）若a=；
（3）若a=2，記T_n=|a₂-a₁|+|a₃-a₂|+…+|a_n-a_n-1|（n=2，3，…），求證：T_n＜1．

Answer 1

【答案】分析：（1）由a_n+1＞a_n恒成立，知＞a_n，所以2a_n²-a_n-1＜0恒成立，故2a²-a-1＜0恒成立，由此能求出a的取值范圍．
（2）當(dāng)時(shí)，{a_n}是增函數(shù)，由0＜a_n＜1，知n≥2時(shí)，，從而當(dāng)n≥2時(shí)，，事實(shí)上，等價(jià)于．由此能夠證明．
（3）當(dāng)a=2時(shí)，由數(shù)學(xué)歸納法可證a_n＞1，n∈N^*．從而=．于是，當(dāng)n≥2時(shí)，T_n=|a₂-a₁|+|a₃-a₂|+…+|a_n-a_n-1|=（a₁-a₂）+（a₂-a₃）+…+（a_n-1-a_n）
=a₁-a_n，由此能夠證明T_n＜1．
解答：解：（1）∵數(shù)列）．
且a_n+1＞a_n恒成立，
∴＞a_n，
∴2a_n²-a_n-1＜0恒成立，
∴2a²-a-1＜0恒成立，（a-1）（2a+1）＜0，
∵a＞0，∴2a+1＞0，
∴a＜1，
綜上所述，a的取值范圍0＜a＜1．
（2）當(dāng)時(shí)，
∵a_n+1＞a_n恒成立，
∴{a_n}是增函數(shù)，
∵a_n+1＞a_n恒成立，
∴＞a_n，
∴2a_n²-a_n-1＜0恒成立，
解得．
∵{a_n}是增函數(shù)，且，
∴0＜a_n＜1，
∴n≥2時(shí)，，
從而當(dāng)n≥2時(shí)，，
即，
事實(shí)上，
∴
∴49（1+a_n）＞2（2a_n+5）²
∴8a_n²-9a_n+1＜0
∴（8a_n-1）（a_n-1）＜0，
∴．
而當(dāng)n=1時(shí)，，
于是1-a_n≤=，
當(dāng)且僅當(dāng)n=1，2時(shí)，
等號(hào)成立，
∴n-S_n=（1-a₁）+（1-a₂）+…+（1-a_n）
＜
=
=
＜．
即．
（3）當(dāng)a=2時(shí)，a₁=2，a_n+1=，
①a₁=2＞1成立，
②假設(shè)a_k＞1，
則＞1，
由①②知a_n＞1，n∈N^*．
從而=，
即a_n+1＜a_n，數(shù)列{a_n}遞減，
于是，當(dāng)n≥2時(shí)，
T_n=|a₂-a₁|+|a₃-a₂|+…+|a_n-a_n-1|
=（a₁-a₂）+（a₂-a₃）+…+（a_n-1-a_n）
=a₁-a_n
＜2-1
=1．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與不等式的綜合運(yùn)用，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，考查學(xué)生探究研究問(wèn)題的能力．考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，易出錯(cuò)．