Question

（2010•廣州模擬）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB，點E是PD的中點．
（1）求證：PB∥平面ACE；
（2）若四面體E-ACD的體積為

2

3

，求AB的長．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)線面平行的判定定理，先證明線線平行，進而證明線面平行
（2）可先求四面體的體積，得到關(guān)于AB長的方程，解方程即可

解答：（1）證明：連接BD交AC于點O，連接EO，
∵ABCD是正方形
∴點O是BD的中點
又∵點E是PD的中點
∴EO是△DPB的中位線．
∴PB∥EO．
又∵EO?平面ACE，PB?平面ACE
∴PB∥平面ACE
（2）解：取AD的中點H，連接EH
∵點E是PD的中點
∴EH∥PA
又∵PA⊥平面ABCD
∴EH⊥平面ABCD．
設(shè)AB=x，則PA=AD=CD=x，且EH=

1

2

PA=

1

2

x．
所以VE-ACD=

1

3

S△ACD×EH=

1

3

×

1

2

×AD×CD×EH=

1

6

•x•x•

1

2

x=

1

12

x3=

2

3

解得x=2
故AB的長為2

點評：本題考查線面平行的證明和棱錐體積的求法．須能熟練應(yīng)用線面平行的性質(zhì)定理和幾何體的體積公式．屬簡單題