設(shè)函數(shù)f(x)=(1+
1
n
)x
(n∈N,且n>1,x∈N).
(Ⅰ)當(dāng)x=6時(shí),求(1+
1
n
)x
的展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng);
(Ⅱ)對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,證明
f(2x)+f(2)
2
>f'(x)(f'(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù));
(Ⅲ)是否存在a∈N,使得an<
n
k-1
(1+
1
k
)
<(a+1)n恒成立?若存在,試證明你的結(jié)論并求出a的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
分析:(1)利用二項(xiàng)式系數(shù)的特點(diǎn),找到展開(kāi)式系數(shù)最大的項(xiàng),即第四項(xiàng);
(2)利用基本不等式適當(dāng)放縮進(jìn)行證明或函數(shù)思想進(jìn)行轉(zhuǎn)化與證明;
(3)探究性問(wèn)題處理不等式問(wèn)題,要注意對(duì)展開(kāi)式系數(shù)進(jìn)行適當(dāng)放縮從而達(dá)到證明的目的.
解答:解:(Ⅰ)展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第4項(xiàng),這項(xiàng)是
C
3
6
15(
1
n
)3=
20
n3

(Ⅱ)證法一:因f(2x)+f(2)=(1+
1
n
)2n+(1+
1
n
)2
≥2
(1+
1
n
)
2n
(1+
1
n
)
2
=2(1+
1
n
)n•(1+
1
n
)
>2(1+
1
n
)n
>2(1+
1
n
)nln(1+
1
2
)
≥2(1+
1
n
)nln(1+
1
n
)=2f(x)

證法二:因f(2x)+f(2)=(1+
1
n
)2n+(1+
1
n
)2
≥2
(1+
1
n
)
2n
(1+
1
n
)
2
=2(1+
1
n
)n•(1+
1
n
)

2f(x)=2(1+
1
n
)nln(1+
1
n
)

故只需對(duì)(1+
1
n
)
ln(1+
1
n
)
進(jìn)行比較.
令g(x)=x-lnx(x≥1),有g(x)=1-
1
x
=
x-1
x

x-1
x
=0
,得x=1
因?yàn)楫?dāng)0<x<1時(shí),g′(x)<0,g(x)單調(diào)遞減;當(dāng)1<x<+∞時(shí),g′(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,所以在x=1處g(x)有極小值1
故當(dāng)x>1時(shí),g(x)>g(1)=1,
從而有x-lnx>1,亦即x>lnx+1>lnx
故有(1+
1
n
)>ln(1+
1
n
)
恒成立.
所以f(2x)+f(2)≥2f′(x),原不等式成立.
(Ⅲ)對(duì)m∈N,且m>1
(1+
1
m
)m=
C
0
m
+
C
1
m
(
1
m
)+
C
2
m
(
1
m
)2+…+
C
k
m
(
1
m
)k+…+
C
m
m
(
1
m
)m

=1+1+
m(m-1)
2!
(
1
m
)2+…+
m(m-1)…(m-k+1)
k!
(
1
m
)k+…+
m(m-1)…2•1
m!
(
1
m
)m

=2+
1
2!
(1-
1
m
)+…+
1
k!
(1-
1
m
)(1-
2
m
)…(1-
k-1
m
)+…+
1
m!
(1-
1
m
)…(1-
m-1
m
)

2+
1
2!
+…+
1
k!
+…+
1
m!

<2+(1-
1
2
)+(
1
2
-
1
3
)+…+(
1
k-1
-
1
k
)+…+(
1
m-1
-
1
m
)

=3-
1
m

<3;
又因
C
k
m
(
1
m
)k
>0(k=2,3,…,m),故2<(1+
1
m
)m<3

2<(1+
1
m
)m<3
,從而有2n<
n
k=1
(1+
1
k
)
k
<3n
成立,
即存在a=2,使得2n<
n
k=1
(1+
1
k
)
k
<3n
恒成立.
點(diǎn)評(píng):本題考查函數(shù)、不等式、導(dǎo)數(shù)、二項(xiàng)式定理、組合數(shù)計(jì)算公式等內(nèi)容和數(shù)學(xué)思想方法.考查綜合推理論證與分析解決問(wèn)題的能力及創(chuàng)新意識(shí).
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=
-1,x>0
1,x<0
,則
(a+b)-(a-b)f(a-b)
2
(a≠b)的值是(  )
A、aB、b
C、a,b中較小的數(shù)D、a,b中較大的數(shù)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=
1-x
1+x
的反函數(shù)為h(x),又函數(shù)g(x)與h(x+1)的圖象關(guān)于有線y=x對(duì)稱,則g(2)的值為( 。
A、-
4
3
B、-
1
3
C、-1
D、-2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=
 
1-x2
,(|x|≤1)
|x|,(|x|>1)
,若方程f(x)=a有且只有一個(gè)實(shí)根,則實(shí)數(shù)a滿足( 。
A、a<0B、0≤a<1
C、a=1D、a>1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=
1+x2
1-x2

①求它的定義域;
②求證:f(
1
x
)=-f(x)
;
③判斷它在(1,+∞)單調(diào)性,并證明.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•淮北一模)設(shè)函數(shù)f(x)=
1+x1-x
e-ax

(1)寫出定義域及f′(x)的解析式,
(2)設(shè)a>O,討論函數(shù)y=f(x)的單調(diào)性.

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