Question

12．函數(shù)f（x）對任意x₁，x₂∈[m，n]都有|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|，則稱f（x）為在區(qū)間[m，n]上的可控函數(shù)，區(qū)間[m，n]稱為函數(shù)f（x）的“可控”區(qū)間，寫出函數(shù)f（x）=2x²+x+1的一個“可控”區(qū)間是$[-\frac{1}{2}，0]$．

Answer 1

分析 減不等式恒成立轉(zhuǎn)化為$\frac{|f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）|}{|{x}_{1}-{x}_{2}|}$≤1恒成立，根據(jù)函數(shù)的解析式進行轉(zhuǎn)化求解即可，

解答 解：不等式|f₁（x）-f₂（x）|≤|x₁-x₂|，等價為當x₁≠x₂時，$\frac{|f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）|}{|{x}_{1}-{x}_{2}|}$≤1恒成立即可．
若f（x）=2x²+x+1，則$\frac{|f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）|}{|{x}_{1}-{x}_{2}|}$=$\frac{|2{{x}_{1}}^{2}+{x}_{1}+1-2{{x}_{2}}^{2}-{x}_{2}-1|}{|{x}_{1}-{x}_{2}|}$=$\frac{|2（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）+（{x}_{1}-{x}_{2}）|}{|{x}_{1}-{x}_{2}|}$
=$\frac{|{x}_{1}-{x}_{2}||2（{x}_{1}+{x}_{2}）+1|}{|{x}_{1}-{x}_{2}|}$=|2（x₁+x₂）+1|，
由|2（x₁+x₂）+1|≤1得，-1≤2（x₁+x₂）+1≤1，
即-2≤2（x₁+x₂）≤0，
即-1≤x₁+x₂≤0，
則-$\frac{1}{2}$≤$\frac{1}{2}$（x₁+x₂）≤0，
即，區(qū)間的中點坐標在[-$\frac{1}{2}$，0]之間即可，
故$[-\frac{1}{2}，0]$的非空子集都可以，故函數(shù)f（x）=2x²+x+1的一個“可控”區(qū)間可以是$[-\frac{1}{2}，0]$．
故答案為：$[-\frac{1}{2}，0]$．

點評 本題主要考查不等式恒成立問題，根據(jù)條件結(jié)合新定義將不等式進行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，有一定的難度．