Question

14．已知集合M={（x，y）|y=mx+b，b，m∈R}，N={（x，y）|x=1+2cosα，y=sinα，α∈R}，若對一切實數(shù)m∈R總有M∩N≠∅，試求b的范圍．

Answer 1

分析 問題轉(zhuǎn)化為方程$\frac{{（x-1）}^{2}}{4}$+（mx+b）²=1在一切m∈R有解，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到關(guān)于b的不等式，解出即可．

解答 解：在N中，由x=1+2cosα得；cos²α=$\frac{{（x-1）}^{2}}{4}$，
由y=sinα得：sin²α=y²，
∴sin²α+cos²α=$\frac{{（x-1）}^{2}}{4}$+y²=1，
由M∩N≠∅，即等價于：方程組$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{（x-1）}^{2}}{4}{+y}^{2}=1}\\{y=mx+b}\end{array}\right.$在一切m∈R有解，
等價于：方程$\frac{{（x-1）}^{2}}{4}$+（mx+b）²=1在一切m∈R有解，
化簡得：（4m²+1）x²+（8mb-2）x+4b²-3=0有解，
則△=（8mb-2）²-4（4m²+1）（4b²-3）≥0
化簡得：3m²-2bm-b²+1≥0，
依題意，不等式3m²-2bm-b²+1≥0對于一切m∈R有解，
則等價于開口向上的二次函數(shù)f（m）=3m²-2bm-b²+1恒在x軸上方，
此時，只需使f（m）=0無解或只有一個解即可使f（m）≥0恒成立，
∴△=4b²-4•3•（1-b²）≤0，
解得-$\frac{\sqrt{3}}{2}$≤b≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查了集合的運算，考查二次函數(shù)的性質(zhì)以及轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．