Question

在坐標(biāo)平面內(nèi)橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為格點(diǎn)．現(xiàn)有一只螞蟻從坐標(biāo)平面的原點(diǎn)出發(fā)，按如下線路沿順時(shí)針方向爬過格點(diǎn)：O→A₁（1，0）→A₂（1，-1）→A₃（0，-1）→A₄（-1，-1）→A₅（-1，0）→A₆（-1，1））→A₇（0，1）→A₈（1，1）→A₉（2，1）→…→A₁₂（2，-2）→…→A₁₆（-2，-2）→…→A₂₀（3，2）→…，則螞蟻在爬行過程中經(jīng)過的第350個(gè)格點(diǎn)A₃₅₀坐標(biāo)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由已知條件推導(dǎo)出以O(shè)為中心，邊長為2n的正方形上共有格點(diǎn)a_n=8n個(gè)，且螞蟻在其上爬過的最后一個(gè)格點(diǎn)為（n，n），由前n個(gè)正方形上格點(diǎn)的總數(shù)：S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n=8+16+24+…+8n=

n(8+8n)

2

≥350，
得n≥9．由此能求出螞蟻在爬行過程中經(jīng)過的第350個(gè)格點(diǎn)A₃₅₀坐標(biāo)．

解答： 解：以O(shè)為中心，邊長為2的正方形上共有格點(diǎn)a₁=8個(gè)，
且螞蟻在其上爬過的最后一個(gè)格點(diǎn)為（1，1）；
以O(shè)為中心，邊長為4的正方形上共有格點(diǎn)a₂=16個(gè)，
且螞蟻在其上爬過的最后一個(gè)格點(diǎn)為（2，2）；
以O(shè)為中心，邊長為6的正方形上共有格點(diǎn)a₃=24個(gè)，
且螞蟻在其上爬過的最后一個(gè)格點(diǎn)為（3，3）；
…
以O(shè)為中心，邊長為2n的正方形上共有格點(diǎn)a_n=8n個(gè)，
且螞蟻在其上爬過的最后一個(gè)格點(diǎn)為（n，n），
由前n個(gè)正方形上格點(diǎn)的總數(shù)：
S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n=8+16+24+…+8n=

n(8+8n)

2

≥350，
得n≥9．
當(dāng)n=9時(shí)，前9個(gè)正方形上格點(diǎn)的總數(shù)S9=

9(8+72)

2

=360，
且螞蟻在第9個(gè)正方形（邊長為18）上爬過的最后一個(gè)格點(diǎn)為A₃₆₀（9，9），
故螞蟻在爬行過程中經(jīng)過的第350個(gè)格點(diǎn)A₃₅₀坐標(biāo)為（-1，9）．
故答案為：（-1，9）．

點(diǎn)評：本題考查螞蟻在爬行過程中經(jīng)過的第350個(gè)格點(diǎn)A₃₅₀坐標(biāo)的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意歸納法和等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的合理運(yùn)用．