Question

3．已知圓（x-m）²+y²=4上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線x-y-2=0對(duì)稱，若離心率為$\sqrt{2}$的雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的兩條漸近線與圓相交，則它們的交點(diǎn)構(gòu)成的圖形的面積為（　　）

• A． 1
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2$\sqrt{3}$
• D． 4

Answer 1

分析 由圓的對(duì)稱性可得圓心在直線x-y-2=0，可得m=2，由離心率公式及a，b，c的關(guān)系，可得a=b，求得漸近線方程，代入圓的方程解得交點(diǎn)，由三角形的面積公式即可得到所求值．

解答 解：圓（x-m）²+y²=4上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線x-y-2=0對(duì)稱，
可得直線x-y-2=0經(jīng)過(guò)圓心（m，0），可得m=2，
由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，a²+b²=c²，可得a=b，
即有雙曲線的漸近線方程為y=±x，
將直線y=±x代入圓的方程（x-2）²+y²=4，
解得交點(diǎn)為（0，0），（2，-2），（2，2），
可得圍成的三角形的面積為$\frac{1}{2}$×2×4=4．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要是漸近線的方程的求法，同時(shí)考查直線和圓相交，及圓的對(duì)稱性，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．