【題目】已知拋物線的準線方程為,點為坐標原點,不過點的直線與拋物線交于不同的兩點.
(1)如果直線過點,求證: ;
(2)如果,證明:直線必過一定點,并求出該定點.
【答案】(1)見解析;(2)過定點
【解析】分析:第一問首先根據(jù)拋物線的準線,求得拋物線的方程,根據(jù)直線過的頂點,結(jié)合拋物線的對稱性,得到直線的斜率一定不等于零,設出直線的方程,與拋物線方程聯(lián)立,利用韋達定理求得兩根和與兩根積,之后應用向量的數(shù)量積坐標公式求得其為零,從而斷定;第二問先設出直線的方程,然后與橢圓方程聯(lián)立,利用數(shù)量積等于零,結(jié)合韋達定理得到其滿足的關系,從而證得對應的直線過定點.
詳解:(1)拋物線的準線方程為,
所以拋物線的方程為
因為直線過點,故可設直線的方程為,代入拋物線中
得,
設
則,
,
所以
所以
即
(2)設直線的方程為
代入到拋物線方程整理得
設
根據(jù)韋達定理,,
因為
即
解得, (舍去)
所以直線的方程為
所以不論為何值,直線恒過定點.
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【題目】已知函數(shù),曲線在點處的切線方程為.
(1)若函數(shù)在時有極值,求表達式;
(2)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知定義在R上的函數(shù)f(x)=3x.
(1)若f(x)=8,求x的值;
(2)對于任意的x∈[0,2],[f(x)-3]3x+13-m≥0恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.
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【題目】(本小題滿分12分)一個盒子里裝有三張卡片,分別標記有數(shù)字,,,這三張卡片除標記的數(shù)字外完全相同。隨機有放回地抽取次,每次抽取張,將抽取的卡片上的數(shù)字依次記為,,.
(Ⅰ)求“抽取的卡片上的數(shù)字滿足”的概率;
(Ⅱ)求“抽取的卡片上的數(shù)字,,不完全相同”的概率.
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【題目】已知命題p:“x∈[0,1],a≥ex”;命題q:“x0∈R,x +4x0+a=0”.若命題“p∧q”是假命題,則實數(shù)a的取值范圍是( )
A.(﹣∞,4]
B.(﹣∞,1)∪(4,+∞)
C.(﹣∞,e)∪(4,+∞)
D.(1,+∞)
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【題目】給出下列四個命題: ①若a<b,則a2<b2;
②若a≥b>﹣1,則 ≥ ;
③若正整數(shù)m和n滿足m<n,則 ≤ ;
④若x>0,且x≠1,則lnx+ ≥2.
其中所有真命題的序號是
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【題目】已知函數(shù)f(x)=ax2-(a+2)x+lnx
(1)當a=1時,求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程;
(2)若對任意x1,x2∈(0,+∞),x1<x2,有f(x1)+2x1<f(x2)+2x2恒成立,求a的取值范圍.
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【題目】[2019·濰坊期末]某鋼鐵加工廠新生產(chǎn)一批鋼管,為了了解這批產(chǎn)品的質(zhì)量狀況,檢驗員隨機抽取了100件鋼管作為樣本進行檢測,將它們的內(nèi)徑尺寸作為質(zhì)量指標值,由檢測結(jié)果得如下頻率分布表和頻率分布直方圖:
分組 | 頻數(shù) | 頻率 |
25.05~25.15 | 2 | 0.02 |
25.15~25.25 | ||
25.25~25.35 | 18 | |
25.35~25.45 | ||
25.45~25.55 | ||
25.55~25.65 | 10 | 0.1 |
25.65~25.75 | 3 | 0.03 |
合計 | 100 | 1 |
(1)求,;
(2)根據(jù)質(zhì)量標準規(guī)定:鋼管內(nèi)徑尺寸大于等于25.75或小于25.15為不合格,鋼管尺寸在或為合格等級,鋼管尺寸在為優(yōu)秀等級,鋼管的檢測費用為0.5元/根.
(i)若從和的5件樣品中隨機抽取2根,求至少有一根鋼管為合格的概率;
(ii)若這批鋼管共有2000根,把樣本的頻率作為這批鋼管的頻率,有兩種銷售方案:
①對該批剩余鋼管不再進行檢測,所有鋼管均以45元/根售出;
②對該批剩余鋼管一一進行檢測,不合格產(chǎn)品不銷售,合格等級的鋼管50元/根,優(yōu)等鋼管60元/根.
請你為該企業(yè)選擇最好的銷售方案,并說明理由.
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