Question

4．若關(guān)于x的不等式ax²-4ax-2＞0的解集與集合{x|3＜x＜4}的交集不空，則實數(shù)a的取值范圍是（-∞，-$\frac{2}{3}$）．

Answer 1

分析 對a進(jìn)行分類討論，求出不等式的解集，再根據(jù)，關(guān)于x的不等式ax²-4ax-2＞0的解集與集合{x|3＜x＜4}的交集不空，列出滿足的條件即可求實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：當(dāng)a=0，-2＞0不成立，不符合要求；
當(dāng)a≠0時，關(guān)于x的不等式ax²-4ax-2＞0的解集與集合{x|3＜x＜4}的交集不空，
所以對于方程ax²-4ax-2=0的△=16a²+8a≥0，解得a＞0或a≤-$\frac{1}{2}$，
所以方程的根為x=$\frac{2a-\sqrt{4{a}^{2}+2a}}{a}$或x=$\frac{2a+\sqrt{4{a}^{2}+2a}}{a}$
當(dāng)a＞0時，不等式的ax²-4ax-2＞0的解集為{x|x＜$\frac{2a-\sqrt{4{a}^{2}+2a}}{a}$或x＞$\frac{2a+\sqrt{4{a}^{2}+2a}}{a}$}，
∴$\frac{2a+\sqrt{4{a}^{2}+2a}}{a}$＜4，
解得a＜0，（舍去），
當(dāng)a≤-$\frac{1}{2}$時，不等式的ax²-4ax-2＞0的解集為{x|$\frac{2a-\sqrt{4{a}^{2}+2a}}{a}$＜x＜$\frac{2a+\sqrt{4{a}^{2}+2a}}{a}$}，
∵$\frac{2a-\sqrt{4{a}^{2}+2a}}{a}$＞0，$\frac{2a+\sqrt{4{a}^{2}+2a}}{a}$＞4，
∴$\frac{2a-\sqrt{4{a}^{2}+2a}}{a}$＞3，
解得a＜-$\frac{2}{3}$，
綜上所述a的取值范圍為（-∞，-$\frac{2}{3}$）

點評 本題是對二次函數(shù)的圖象所在位置的考查．其中涉及到對二次項系數(shù)的討論，在做題過程中，只要二次項系數(shù)含參數(shù)，就要分情況討論，這也是本題的一個易錯點．