已知.

（1）若恒成立，求的最大值；

（2）若為常數(shù)，且，記，求的最小值.

 

【答案】

（1）；（2）.

【解析】

試題分析：本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)及運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間、最值等數(shù)學(xué)知識(shí)，突出考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力.第一問(wèn)，是恒成立問(wèn)題，先將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題，求的最值是本問(wèn)的關(guān)鍵，法一，利用基本不等式求最值，法二，利用導(dǎo)數(shù)求最值，無(wú)論用哪種方法都應(yīng)注意函數(shù)的定義域；第二問(wèn)，令，將進(jìn)行轉(zhuǎn)化，化簡(jiǎn)成的形式，利用二次函數(shù)的單調(diào)性求.

試題解析：（1）（解法一）

設(shè)，

∴，∴的最大值為.

（解法二）設(shè)，

，

∴，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴為極小值點(diǎn)，

∴，∴，∴的最大值為.

（2）設(shè)，則，則

令，則

即，

設(shè)，∵其對(duì)稱(chēng)軸，

在上單調(diào)遞減，∴，

∴，.

考點(diǎn)：1.恒成立問(wèn)題；2.基本不等式；3.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值；4.二次函數(shù)的單調(diào)性和最值.

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知點(diǎn)（1，
1
3
）是函數(shù)f（x）=ax（a＞0且a≠1）的圖象上一點(diǎn)，等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為f（n）-c，數(shù)列{bn}（bn＞0）的首項(xiàng)為c，且前n項(xiàng)和Sn滿(mǎn)足Sn-Sn-1=
Sn
+
Sn-1
（n≥2）．記數(shù)列{
1
bnbn+1
}前n項(xiàng)和為T(mén)n，
（1）求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；
（2）若對(duì)任意正整數(shù)n，當(dāng)m∈[-1，1]時(shí)，不等式t2-2mt+
1
2
＞Tn恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍
（3）是否存在正整數(shù)m，n，且1＜m＜n，使得T1，Tm，Tn成等比數(shù)列？若存在，求出m，n的值，若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知點(diǎn)（1，）是函數(shù)且）的圖象上一點(diǎn)，等比數(shù)列的前項(xiàng)

和為，數(shù)列的首項(xiàng)為1，且前項(xiàng)和滿(mǎn)足－=+

（）.記數(shù)列{前項(xiàng)和為，

（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；

（2）若對(duì)任意正整數(shù)n，當(dāng)m∈[1,1]時(shí)，不等式t2+2mt+>恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍

(3)是否存在正整數(shù)，且，使得成等比數(shù)列？若存在，求出的值，若不存在，說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：安徽省模擬題 題型：解答題

設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）在an與a n+1之間插入n個(gè)數(shù)，使這n+2個(gè)數(shù)組成公差為dn的等差數(shù)列（如：在a1與a2之間插入1個(gè)數(shù)構(gòu)成第一個(gè)等差數(shù)列，其公差為d1；在a2與a3之間插入2個(gè)數(shù)構(gòu)成第二個(gè)等差數(shù)列，其公差為d2，…以此類(lèi)推），設(shè)第n個(gè)等差數(shù)列的和是An．是否存在一個(gè)關(guān)于n的多項(xiàng)式g（n），使得An=g（n）dn對(duì)任意n∈N*恒成立？若存在，求出這個(gè)多項(xiàng)式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）對(duì)于（2）中的數(shù)列d1，d2，d3，…，dn，…，這個(gè)數(shù)列中是否存在不同的三項(xiàng)dm，dk，dp（其中正整數(shù)m，k，p成等差數(shù)列）成等比數(shù)列，若存在，求出這樣的三項(xiàng)；若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

(理)設(shè)函數(shù)f(x)=1+9x6tlnx，在x=a，x=b處分別取得極大值和極小值，連接函數(shù)圖像上A(a，f(a))，B(b，f(b))兩點(diǎn)．

(1)求實(shí)數(shù)t的取值范圍；

(2)是否存在實(shí)數(shù)t，使得線(xiàn)段AB(包括兩端點(diǎn))與直線(xiàn)x=1相交?若存在，求出t的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

(文)已知函數(shù)f(x)=mx3-x的圖像上，以N(1，n)為切點(diǎn)的切線(xiàn)的傾斜角為．

(1)求m，n的值；

(2)是否存在最小的正整數(shù)k，使得不等式f(x)≤k-1991對(duì)于x∈[-1，3]恒成?如果存在，請(qǐng)求出最小的正整數(shù)k；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

(3)求證：|f(sinx)+f(cosx)|≤2f(t+)(x∈R，t＞0)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2011-2012學(xué)年上海市十三校高三第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）在an與an+1之間插入n個(gè)數(shù)，使這n+2個(gè)數(shù)組成公差為dn的等差數(shù)列（如：在a1與a2之間插入1個(gè)數(shù)構(gòu)成第一個(gè)等差數(shù)列，其公差為d1；在a2與a3之間插入2個(gè)數(shù)構(gòu)成第二個(gè)等差數(shù)列，其公差為d2，…以此類(lèi)推），設(shè)第n個(gè)等差數(shù)列的和是An．是否存在一個(gè)關(guān)于n的多項(xiàng)式g（n），使得An=g（n）dn對(duì)任意n∈N*恒成立？若存在，求出這個(gè)多項(xiàng)式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）對(duì)于（2）中的數(shù)列d1，d2，d3，…，dn，…，這個(gè)數(shù)列中是否存在不同的三項(xiàng)dm，dk，dp（其中正整數(shù)m，k，p成等差數(shù)列）成等比數(shù)列，若存在，求出這樣的三項(xiàng)；若不存在，說(shuō)明理由．

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