Question

5．如圖，A，B是⊙O上的兩點，P為⊙O外一點，連結(jié)PA，PB分別交⊙O于點C，D，且AB=AD，連結(jié)BC并延長至E，使∠PEB=∠PAB．
（Ⅰ） 求證：PE=PD；
（Ⅱ） 若AB=EP=1，且∠BAD=120°，求AP．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證連結(jié)DC，只要判斷△PEC≌△PDC，利用三角形全等的性質(zhì)即得．
（Ⅱ）判斷△ABC∽△APB，利用全等的性質(zhì)得到AB²=AP•AC=AP（AP-PC），進一步得到$A{P^2}-2A{B^2}=AB•BD=\sqrt{3}$，解得；

解答 （Ⅰ）證明：連結(jié)DC，
因為∠PCE=∠ACB=∠ADB，∠PCD=∠ABD，又因為AB=AD，
所以∠ABD=∠ADB，
所以∠PCE=∠PCD…（3分）
由已知∠PEB=∠PAB，∠PDC=∠PAB，
所以∠PEC=∠PDC，且PC=PC，
所以△PEC≌△PDC，所以PE=PD…（5分）
（Ⅱ）因為∠ACB=∠PBA，∠BAC=∠PAB
所以△ABC∽△APB，則AB²=AP•AC=AP（AP-PC），
所以AP²-AB²=AP•PC=PD•PB=PD（PD+BD）
又因為PD=AB，AB=1，所以$A{P^2}-2A{B^2}=AB•BD=\sqrt{3}$，…（8分）
所以$A{P^2}=2+\sqrt{3}$．
所以 $AP=\frac{{\sqrt{2}+\sqrt{6}}}{2}$…（10分）

點評 本題考查了三角形全等和相似的判定定理和性質(zhì)定理的運用，通過圓的有關(guān)性質(zhì)得到線段之間的關(guān)系是關(guān)鍵．