Question

16．已知函數(shù)f（x）=x²-2ax+5（a＞1）．
（1）若f（x）的定義域和值域均是[1，a]，求實數(shù)a的值；
（2）若f（x）在區(qū)間（-∞，2]上是減函數(shù)，且對任意的x∈[1，2]，都有f（x）≤0，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）二次函數(shù)平方，通過f（x）在（-∞，a]上單調(diào)遞減，又a＞1，f（x）的[1，a]上單調(diào)遞減，結(jié)合定義域與值域列出方程，求解即可．
（2）通過f（x）在區(qū)間（-∞，2]上是減函數(shù)，推出（-∞，2]⊆（-∞，a]，然后通過x∈[1，2]時，f（x）_max=f（1），f（x）≤0，求出結(jié)果即可．

解答 解：（1）∵f（x）=x²-2ax+5=（x-a）²+（5-a²），
∴f（x）在（-∞，a]上單調(diào)遞減，又a＞1，∴f（x）的[1，a]上單調(diào)遞減，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{f（1）=a}\\{f（a）=1}\end{array}}\right.$，∴$\left\{{\begin{array}{l}{1-2a+5=a}\\{{a^2}-2{a^2}+5=1}\end{array}}\right.$，∴a=2…（6分）
（2）∵f（x）在區(qū)間（-∞，2]上是減函數(shù)，
∴（-∞，2]⊆（-∞，a]，
∴a≥2…（8分）
f（x）在區(qū)間（-∞，2]上是減函數(shù)，
∴x∈[1，2]時，f（x）_max=f（1）…（10分）
又∵對任意的x∈[1，2]，都有f（x）≤0，
∴f（1）≤0，即1-2a+5≤0，∴a≥3…（12分）
注：各題其它解法酌情給分．

點評 本題考查二次函數(shù)的簡單性質(zhì)的應用，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的值域的應用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．