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10.已知實數(shù)x,y滿足{x+y3yx+1y3x+9,試求解下列問題:
(1)求目標函數(shù)z=3x+y的最大值,此時對應的最優(yōu)解有多少個?
(2)若目標函數(shù)z=ax+y取得最大值時對應的最優(yōu)解有無數(shù)個,求實數(shù)a的值.
(3)若目標函數(shù)z=ax+y僅在B(2,3)處取得最大值,求實數(shù)a的取值范圍.

分析 (1)作出不等式組對應的平面區(qū)域,利用z的幾何意義即可得到結(jié)論.
(2)利用z=ax+y取得最大值的最優(yōu)解有無窮多個,得到目標函數(shù)的對應的直線和不等式對應的邊界的直線的斜率相同,解方程即可得到結(jié)論.
(3)利用不等式對應的平面區(qū)域,確定目標取最優(yōu)解的條件,即可求出a的取值范圍.

解答 解:(1)由z=3x+y,得y=-3x+y,
作出實數(shù)x,y滿足{x+y3yx+1y3x+9,不等式組對應的平面區(qū)域如圖:
由圖象可知當直線y=-3x+z與直線y=-3x+9重合時,目標函數(shù)z=3x+y的最大值,z的最大值為:9,
即最優(yōu)解為線段AB中的點有無數(shù)個,z取得最大值9.
(2)解:不等式對應的平面區(qū)域如圖:
由z=ax+y得y=-ax+z,
若-a>0,則直線y=-ax+z截距取得最大值時,z取的最大值,此時直線只在A處取得最大值,最優(yōu)解只有一個,不滿足條件,
若-a<0,則直線y=-ax+z截距取得最大值時,z取的最大值,此時滿足直線y=-ax+z與AB平行,
直線AB為y=-3x+9,直線的斜率k=-3,
此時-a=-3,解得a=3.
綜上滿足條件的a=3.
(3)由z=ax+y得y=-ax+z,
要使目標函數(shù)z=ax+y僅在點B(2,3)處取得最大值,
目標函數(shù)處在直線3x+y-9=0和x-y+1=0之間,
即目標函數(shù)的斜率k,滿足-3<-a<1,
即-1<a<3.

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應用,利用z的幾何意義,結(jié)合z=ax+y取得最大值的最優(yōu)解有無窮多個,利用結(jié)合數(shù)形結(jié)合是解決本題的根據(jù).利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃題目的常用方法.

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