Question

10．已知實數(shù)x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{x+y≥3}\\{y≤x+1}\\{y≤-3x+9}\end{array}\right.$，試求解下列問題：
（1）求目標函數(shù)z=3x+y的最大值，此時對應的最優(yōu)解有多少個？
（2）若目標函數(shù)z=ax+y取得最大值時對應的最優(yōu)解有無數(shù)個，求實數(shù)a的值．
（3）若目標函數(shù)z=ax+y僅在B（2，3）處取得最大值，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）作出不等式組對應的平面區(qū)域，利用z的幾何意義即可得到結(jié)論．
（2）利用z=ax+y取得最大值的最優(yōu)解有無窮多個，得到目標函數(shù)的對應的直線和不等式對應的邊界的直線的斜率相同，解方程即可得到結(jié)論．
（3）利用不等式對應的平面區(qū)域，確定目標取最優(yōu)解的條件，即可求出a的取值范圍．

解答 解：（1）由z=3x+y，得y=-3x+y，
作出實數(shù)x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{x+y≥3}\\{y≤x+1}\\{y≤-3x+9}\end{array}\right.$，不等式組對應的平面區(qū)域如圖：
由圖象可知當直線y=-3x+z與直線y=-3x+9重合時，目標函數(shù)z=3x+y的最大值，z的最大值為：9，
即最優(yōu)解為線段AB中的點有無數(shù)個，z取得最大值9．
（2）解：不等式對應的平面區(qū)域如圖：
由z=ax+y得y=-ax+z，
若-a＞0，則直線y=-ax+z截距取得最大值時，z取的最大值，此時直線只在A處取得最大值，最優(yōu)解只有一個，不滿足條件，
若-a＜0，則直線y=-ax+z截距取得最大值時，z取的最大值，此時滿足直線y=-ax+z與AB平行，
直線AB為y=-3x+9，直線的斜率k=-3，
此時-a=-3，解得a=3．
綜上滿足條件的a=3．
（3）由z=ax+y得y=-ax+z，
要使目標函數(shù)z=ax+y僅在點B（2，3）處取得最大值，
目標函數(shù)處在直線3x+y-9=0和x-y+1=0之間，
即目標函數(shù)的斜率k，滿足-3＜-a＜1，
即-1＜a＜3．

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應用，利用z的幾何意義，結(jié)合z=ax+y取得最大值的最優(yōu)解有無窮多個，利用結(jié)合數(shù)形結(jié)合是解決本題的根據(jù)．利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃題目的常用方法．