Question

已知△ABC中，已知cosA=-

1

3

，cosC=

2

sinB．
（1）求sinC的值．
（2）若a=

2

，求△ABC的面積．

Answer 1

考點：解三角形

專題：解三角形

分析：（1）由cosA=-

1

3

求得sinA的值，再由sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，結合cosC=

2

sinB得到cosC=

2

sinC，進一步結合平方關系得答案；
（2）由正弦定理求得c的值，再求出sinB，代入面積公式得答案．

解答： 解：（1）∵cosA=-

1

3

，且0＜A＜π，
∴sinA=

2 2

3

，
又sinB=sin（180°-A-C）=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
代入cosC=

2

sinB，得
cosC=

2

（sinAcosC+cosAsinC）=

4

3

cosC-

2

3

sinC，
∴cosC=

2

sinC，
又sin²C+cos²C=1，且C為銳角，
解得：sinC=

3

3

；
（2）∵a=

2

，sinA=

2 2

3

，sinC=

3

3

，
由正弦定理得：

2

2 2 3

=

c

3 3

，解得c=

3

2

．
又cosC=

2

sinB，
∴sinB=

2

2

cosC=

2

2

×

1-( 3 3 )2

=

3

3

．
∴S△ABC=

1

2

acsinB=

1

2

×

2

×

3

2

×

3

3

=

2

4

．

點評：本題考查了三角形的解法，考查了正弦定理的應用，訓練了利用三角形的面積公式求面積，是中檔題．