Question

【題目】已知定義域為R的函數(shù)f（x）= 是奇函數(shù)．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式，并說明函數(shù)的單調(diào)性；
（2）解不等式f（2x+1）+f（x）＜0．

Answer 1

【答案】
（1）解：因為f（x）是R上的奇函數(shù)，

所以f（0）=0，解得b=﹣1，

從而有f（x）= ，

經(jīng)檢驗，符合題意．

因為f（x）=1﹣ ，

所以由y=2x的單調(diào)性可推知f（x）在R上為增函數(shù)

（2）解：因為f（x）在R上是奇函數(shù)，

從而不等式f（2x+1）+f（x）＜0可化為f（2x+1）＜﹣f（x），

即f（2x+1）＜f（﹣x），

又因f（x）是R上的增函數(shù)，

由上式推得1+2x＜﹣x，解得x ．

所以不等式的解集為（﹣ ）

【解析】（1）利用（0）=0，解得b，可求函數(shù)f（x）的解析式，f（x）=1﹣ ，由y=2x的單調(diào)性可推知函數(shù)的單調(diào)性；（2）不等式f（2x+1）+f（x）＜0，轉(zhuǎn)化為f（2x+1）＜f（﹣x），利用單調(diào)性，可得結(jié)論．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用奇偶性與單調(diào)性的綜合的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上有相反的單調(diào)性．