Question

3．已知函數(shù)f（x）=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x
（1）求函數(shù)的最小正周期及函數(shù)圖象的對稱中心；
（2）若不等式-2＜f（x）-m＜2在x∈[$\frac{π}{4}，\frac{π}{2}$]上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 利用輔助角公式化積．
（1）直接利用周期公式求得周期，再由相位的終邊落在x軸上求得函數(shù)圖象的對稱中心；
（2）由x得范圍求得f（x）的范圍，把-2＜f（x）-m＜2在x∈[$\frac{π}{4}，\frac{π}{2}$]上恒成立轉(zhuǎn)化為f（x）-2＜m＜f（x）+2在x∈[$\frac{π}{4}，\frac{π}{2}$]上恒成立得答案．

解答 解：f（x）=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x=$2sin（2x-\frac{π}{3}）$．
（1）函數(shù)的周期為T=$\frac{2π}{2}=π$．
由2x$-\frac{π}{3}=kπ$，得x=$\frac{kπ}{2}+\frac{π}{6}，k∈Z$，
∴函數(shù)的對稱中心為（$\frac{kπ}{2}+\frac{π}{6}，0$），k∈Z；
（2）由-2＜f（x）-m＜2在x∈[$\frac{π}{4}，\frac{π}{2}$]上恒成立，
得f（x）-2＜m＜f（x）+2在x∈[$\frac{π}{4}，\frac{π}{2}$]上恒成立，
∵x∈[$\frac{π}{4}，\frac{π}{2}$]，∴2x$-\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}$]，則f（x）∈[1，2]，
∴0＜m＜3．
∴實數(shù)m的取值范圍是（0，3）．

點評 本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，考查了恒成立問題的求解方法，是中檔題．