Question

已知函數(shù)．

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若在上恒成立，求所有實(shí)數(shù)的值；

（3）對任意的，證明：

 

Answer 1

（1）遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為;（2）;（3）略.

【解析】

試題分析：此題是導(dǎo)數(shù)的綜合題.（1）考察函數(shù)的求導(dǎo)，導(dǎo)數(shù)大于（大于或等于）零的區(qū)間即為函數(shù)遞增區(qū)間，小于（小于或等于）零的區(qū)間即為函數(shù)遞減區(qū)間；（2）恒成立問題一般情況下是轉(zhuǎn)化為求最值問題，借助第一問的單調(diào)性，注意主元思想的變換；（3）見詳解.

試題解析：（1），

當(dāng)時(shí)，，減區(qū)間為

當(dāng)時(shí)，由得，由得

∴遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為

（2）由（1）知：當(dāng)時(shí)，在上為減區(qū)間，而

∴在區(qū)間上不可能恒成立

當(dāng)時(shí)，在上遞增，在上遞減，，令， 依題意有，而，且

∴在上遞減，在上遞增，∴，故

（3）由（2）知：時(shí)，且恒成立

即恒成立則

又由知在上恒成立，

∴

綜上所述：對任意的，證明：

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的求法，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值，不等式的證明.