Question

14．已知f（x）=alnx-ax²（$\frac{1}{2}$≤x≤1）滿足：斜率不小于1的任意直線l與f（x）的圖象至多有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（　　）

• A． [-1，1]
• B． [-2，1]
• C． [-1，2]
• D． [ln2-2，$\frac{3}{2}$]

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由題意可得$\frac{a}{x}$-2ax≥1在x∈[$\frac{1}{2}$，1]）最多只有一個(gè)解，討論a=0，a＞0，a＜0，運(yùn)用參數(shù)分離和函數(shù)的單調(diào)性，即可得到所求范圍．

解答 解：函數(shù)f（x）=alnx-ax²的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=$\frac{a}{x}$-2ax，
由任何斜率不小于1的直線與f（x）的圖象至多有一個(gè)公共點(diǎn)，
可得$\frac{a}{x}$-2ax≥1在x∈[$\frac{1}{2}$，1]）最多只有一個(gè)解，
當(dāng)a=0時(shí)，顯然成立；
當(dāng)a＞0時(shí)，$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$時(shí)，$\frac{1}{a}$≤$\frac{1}{x}$-2x，
由$\frac{1}{x}$-2x在[$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]遞減，可得值域?yàn)閇0，1]，
可得$\frac{1}{a}$≥1，解得0＜a≤1；
當(dāng)a＜0時(shí)，$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤x≤1時(shí)，$\frac{1}{a}$≥$\frac{1}{x}$-2x，
由$\frac{1}{x}$-2x在[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]遞減，可得值域?yàn)閇-1，0]，
可得$\frac{1}{a}$≤-1，解得-1≤a＜0．
綜上可得a的范圍是[-1，1]．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率，考查轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，以及參數(shù)分離方法，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．