如圖,已知ACDE是直角梯形,且EDAC,平面ACDE⊥平面ABC,∠BAC=∠ACD=90°,AB=AC=AE=2,ED=
1
2
AB
,P是BC的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:DP平面EAB;
(Ⅱ)求平面EBD與平面ABC所成銳二面角大小的余弦值.
(I)證明:取AB的中點(diǎn)F,連接PF,EF.
又∵P是BC的中點(diǎn),∴FP
.
1
2
AC

ED=
1
2
AB=
1
2
AC
,EDAC,
FP
.
ED
,
∴四邊形EFPD是平行四邊形,
∴PDEF.
而EF?平面EAB,PD?平面EAB,
∴PD平面EAB.
(II)∵∠BAC=90°,平面ACDE⊥平面ABC,∴BA⊥平面ACDE.
以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),直線AB為x軸,AC為y軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
則z軸在平面EACD內(nèi).則A(0,0,),B(2,0,0),E(0,1,
3
)
,D(0,2,
3
)

EB
=(2,-1,-
3
)
,
ED
=(0,1,0)

設(shè)平面EBD的法向量
n
=(x,y,z)
,由
n
EB
=0
n
ED
=0
,得
2x-y-
3
z=0
y=0

取z=2,則x=
3
,y=0.∴
n
=(
3
,0,2)

可取
m
=(0,0,1)
作為平面ABC的一個(gè)法向量,
cos<
m
n
=
m
n
|
m
||
n
|
=
2
7
=
2
7
7

即平面EBD與平面ABC所成銳二面角大小的余弦值為
2
7
7
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

如圖,△ABC是等腰直角三角形∠ACB=90°,AC=2a,D,E分別為AC,AB的中點(diǎn),沿DE將△ADE折起,得到如圖所示的四棱錐A′-BCDE
(Ⅰ)在棱A′B上找一點(diǎn)F,使EF平面A′CD;
(Ⅱ)當(dāng)四棱錐A'-BCDE體積取最大值時(shí),求平面A′CD與平面A′BE夾角的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

將邊長為a的正方形ABCD沿對(duì)角線AC折成一個(gè)直二面角,則此時(shí)BD的長為______.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

設(shè)一個(gè)正三棱錐的側(cè)面與底面所成的角為α,相鄰兩個(gè)側(cè)面所成的角為β,那么兩個(gè)角α和β的三角函數(shù)間的關(guān)系是( 。
A.2cos2α+3cosβ=1B.2cosα+3cos2β=1
C.3cos2α+2cosβ=1D.3cosα+2cos2β=1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,多面體ABCDS中,面ABCD為矩形,SD⊥AD,SD⊥AB,且AB=2AD,SD=
3
AD,
(1)求證:平面SDB⊥平面ABCD;
(2)求二面角A-SB-D的大小.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,已知△BCD中,∠BCD=90°,AB⊥平面BCD,BC=2,CD=
3
AB=
3
,E、F
分別為AC、AD上的動(dòng)點(diǎn).
(1)若
AE
EC
=
AF
FD
,求證:平面BEF⊥平面ABC;
(2)若
AE
EC
=1
,
AF
FD
=2
,求平面BEF與平面BCD所成的銳二面角的大。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

如圖,矩形ABEF和正方形ABCD有公共邊AB,它們所在平面成60°的二面角,AB=CB=2a,BE=a,則DE=______.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,四棱錐P-ABCD的底面ABCD是平行四邊形,AD=2,AB=1,∠ABC=60°,PA⊥面ABCD,設(shè)E為PC中點(diǎn),點(diǎn)F在線段PD上且PF=2FD.
(Ⅰ)求證:BE平面ACF;
(Ⅱ)設(shè)二面角A-CF-D的大小為θ,若|cosθ|=
42
14
,求PA的長.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

如圖所示,正三棱錐中,分別是 的中點(diǎn),上任意一點(diǎn),則直線所成的角的大小是    (     )
A.B.C.D.隨點(diǎn)的變化而變化.

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同步練習(xí)冊(cè)答案