已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在x軸上，F(xiàn)1、F2分別為其左、右焦點(diǎn)，P在橢圓上任意一點(diǎn)，且
F1P
•
F2P
的最大值為1，最小值為-2．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)A為橢圓C的右頂點(diǎn)，直線(xiàn)l是與橢圓交于M、N兩點(diǎn)的任意一條直線(xiàn)，若AM⊥AN，證明直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)．
分析：（1）設(shè)橢圓方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，p（x0，y0）為橢圓上任意一點(diǎn)，
F1P
•
F2P
=x02+y02-c2，由
x02
a2
+
y02
b2
=1，知
F1P
•
F2P
=x02+b2- 
b2
a2
x02-c2=
c2
a2
x02+b2-c2．由此能求出橢圓方程．
（2）①若直線(xiàn)l不垂直于x軸，設(shè)該直線(xiàn)方程為y=kx+m，M（x1，y1），N（x2，y2），由
y=kx+m
x2
4
+y2=1
得x2+4（k2x2+2kmx+m2）=4，由此能求出l：y=-
5
6
mx+m=m(-
5
6
x+1)過(guò)定點(diǎn)（
6
5
，0）．②若直線(xiàn)l垂直于x軸，設(shè)l與x軸交于點(diǎn)（x0，0），由橢圓的對(duì)稱(chēng)性知△MNA為等腰Rt△，
1-
x02
4
=2-x0，解得x0=
6
5
此時(shí)直線(xiàn)l也過(guò)定點(diǎn)（
6
5
，0）．由此知，直線(xiàn)l恒過(guò)定點(diǎn)（
6
5
，0）．
解答：解：（1）設(shè)橢圓方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，p（x0，y0）為橢圓上任意一點(diǎn)，
∴
F1P
=(x0+c，y0)，
F2p
=(x0-c，y0)，
∴
F1P
•
F2P
=x02+y02-c2，
∵
x02
a2
+
y02
b2
=1，
∴
F1P
•
F2P
=x02+b2- 
b2
a2
x02-c2=
c2
a2
x02+b2-c2．
∵0≤x02≤a2，∴b2-c2≤ 
F1P
•
F2P
≤b2，∴
b2=1
b2-c2=-2
，∴
b2=1
c2=3
，∴a2=4，
∴橢圓方程為
x2
4
+y2=1．
（2）①若直線(xiàn)l不垂直于x軸，設(shè)該直線(xiàn)方程為y=kx+m，M（x1，y1），N（x2，y2），
由
y=kx+m
x2
4
+y2=1
得x2+4（k2x2+2kmx+m2）=4，
化簡(jiǎn)，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0，∴x1+x2=-
8km
1+4k2
，x1x2=
4m2-4
1+4k2
，
y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=
m2-4k2
1+4k2
．
∵AM⊥AN，∴
AM
•
AN
=y1y2+(x1-2) (x2-2)=0，
∴y1y2+x1x2-2（x1+x2）+4=0，
∴
m2-4k2
1+4k2
+
4m2-4
1+4k2
+
16km
1+4k2
+4=0．整理，得12k2+16km+5m2=0，
∴k=-
m
2
或k=-
5
6
m，
當(dāng)k=-
m
2
時(shí)，l：y=-
m
2
mx+m=m(-
x
2
+1)過(guò)定點(diǎn)（2，0），不滿(mǎn)足題意．
當(dāng)k=-
5
6
m時(shí)，l：y=-
5
6
mx+m=m(-
5
6
x+1)過(guò)定點(diǎn)（
6
5
，0）．
②若直線(xiàn)l垂直于x軸，設(shè)l與x軸交于點(diǎn)（x0，0），由橢圓的對(duì)稱(chēng)性知△MNA為等腰Rt△，
∴
1-
x02
4
=2-x0，解得x0=
6
5
或2（舍），即此時(shí)直線(xiàn)l也過(guò)定點(diǎn)（
6
5
，0）．
由①②知，直線(xiàn)l恒過(guò)定點(diǎn)（
6
5
，0）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn) 和圓錐曲線(xiàn)的綜合應(yīng)用，具有一定的難度，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓C任意一點(diǎn)P到兩個(gè)焦點(diǎn)F1(-
3
，0)和F2(
3
，0)的距離之和為4．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)過(guò)（0，-2）的直線(xiàn)l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，且
OA
•
OB
=0（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線(xiàn)l的方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，且|F1F2|=2，點(diǎn)P（1，
32
）在橢圓C上．
（I）求橢圓C的方程；
（II）如圖，動(dòng)直線(xiàn)l：y=kx+m與橢圓C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，點(diǎn)M，N是直線(xiàn)l上的兩點(diǎn)，且F1M⊥l，F(xiàn)2M⊥l，求四邊形F1MNF2面積S的最大值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上且過(guò)點(diǎn)P(
3
，
1
2
)，離心率是
3
2
．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)E（-1，0）且與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，若|EA|=2|EB|，求直線(xiàn)l的方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•和平區(qū)一模）已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為
1
2
，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線(xiàn)y=
3
12
x2的焦點(diǎn)．
（I）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（II）若A、B是橢圓C上關(guān)x軸對(duì)稱(chēng)的任意兩點(diǎn)，設(shè)P（-4，0），連接PA交橢圓C于另一點(diǎn)E，求證：直線(xiàn)BE與x軸相交于定點(diǎn)M；
（III）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，在（II）的條件下，過(guò)點(diǎn)M的直線(xiàn)交橢圓C于S、T兩點(diǎn)，求
OS
•
OT
的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，它的一條準(zhǔn)線(xiàn)為x=-
5
2
，離心率為
2
5
5
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F作直線(xiàn)l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，交y軸于M點(diǎn)，若
MA
=λ1
AF
， 
MB
=λ2
BF
，求λ1+λ2的值．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案