Question

過(guò)點(diǎn)M（4，2）作x軸的平行線被拋物線C：x²=2py（p＞0）截得的弦長(zhǎng)為4

2

．
（I）求p的值；
（II）過(guò)拋物線C上兩點(diǎn)A，B分）別作拋物線C的切線l₁，l₂．
（i）若l₁，l₂交于點(diǎn)M，求直線AB的方程；
（ii）若直線AB經(jīng)過(guò)點(diǎn)M，記l₁，l₂的交點(diǎn)為N，當(dāng)S△ABN=28

7

時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（I）由已知得點(diǎn)(2

2

，2)在拋物線x²=2py上，代入得即可求出p的值；
（II）設(shè)A(x1，

x 2 1

4

)，B(x2，

x 2 2

4

)，直線AB方程為y=kx+b．將直線的方程代入拋物線的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系及導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解．
（i）由題意得M（4，2）是l₁與l₂的交點(diǎn)，從而解決問(wèn)題．
（ii）由題意得M（4，2）在直線AB上，故4k+b=2，且x₁+x₂=4k，x₁•x₂=16k-8，涉及弦長(zhǎng)問(wèn)題，常用“韋達(dá)定理法”設(shè)而不求計(jì)算弦長(zhǎng)（即應(yīng)用弦長(zhǎng)公式），從而求得三角形的面積列出方程求得k值，進(jìn)而求點(diǎn)N的坐標(biāo)．

解答：解：（I）由已知得點(diǎn)(2

2

，2)在拋物線x²=2py上，（2分）
代入得8=4p，故p=2．（4分）
（II）設(shè)A(x1，

x 2 1

4

)，B(x2，

x 2 2

4

)，直線AB方程為y=kx+b．
由

y=kx+b x2=4y

得x2-4kx-4b=0，
則x₁+x₂=4k，x₁•x₂=-4b．（6分）
又y=

1

4

x2求導(dǎo)得y′=

x

2

，
故拋物線在A，B兩點(diǎn)處的切線斜率分別為

x1

2

，

x2

2

，
故在A，B點(diǎn)處的切線方程分）別為l1：y=

x1

2

x-

x 2 1

4

和l2：y=

x2

2

x-

x 2 2

4

，
于是l₁與l₂的交點(diǎn)坐標(biāo)為(

x1+x2

2

，

x1•x2

4

)，即為（2k，-b）．（8分）
（i）由題意得M（4，2）是l₁與l₂的交點(diǎn)，
故

2k=4 -b=2

即

k=2 b=-2

故直線AB的方程為2x-y-2=0．（9分）
（ii）由題意得M（4，2）在直線AB上，故4k+b=2，且x₁+x₂=4k，x₁•x₂=16k-8，
故l₁與l₂的交點(diǎn)N坐標(biāo)為（2k，4k-2）．（11分）
又|AB|=

1+k2

|x1-x2|=4

(1+k2)(k2-4k+2)

，
點(diǎn)N到直線AB的距離d=

2|k2-4k+2|

1+k2

，
故S△NAB=

1

2

|AB|•d=4(

k2-4k+2

)3．（13分）
故4(

k2-4k+2

)3=28

7

，
即

k2-4k+2

=

7

，得k=-1或5，（14分）
故點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-2，-6）或（10，18）．（15分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題、直線的方程、拋物線方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、方程思想．涉及弦長(zhǎng)問(wèn)題，常用“韋達(dá)定理法”設(shè)而不求計(jì)算弦長(zhǎng)（即應(yīng)用弦長(zhǎng)公式），屬于中檔題．