設(shè)拋物線y2=2px（p＞0）上有兩動(dòng)點(diǎn)A、B，F(xiàn)為焦點(diǎn)，且|
AF
|+|
BF
|=8，且線段AB的垂直平分線恒過定點(diǎn)Q（6，0）．
（1）求拋物線方程；
（2）求△AQB面積最大值．
分析：（1）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中點(diǎn)為M（x0，y0），利用拋物線方程與直線的斜率公式，算出M的坐標(biāo)關(guān)于AB斜率k和p的式子，根據(jù)AB的中垂線線恒過定點(diǎn)Q（6，0）利用斜率公式建立關(guān)于p的等式，解出p值即可得到拋物線方程；
（2）由拋物線方程和直線AB方程消去x，得y2-2y0y+2y02-16=0，從而算出|y1-y2|=
64-4y02
，由△AQB在x軸上截得的線段|QD|=4+
1
4
y02，得到△AQB面積S關(guān)于y0的表達(dá)式，再利用基本不等式求最值即可算出△AQB面積最大值．
解答：解：（1）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），AB中點(diǎn)為M（x0，y0），
①當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為k，則
由|AF|+|BF|=8得x1+x2+p=8，∴x0=4-
p
2

又∵y12=2px1且y22=2px2，∴y12-y22=2p（x1-x2）
可得k=
y1-y2
x1-x2
=
2p
y1+y2
=
p
y0
，解出y0=
p
k
，得M（4-
p
2
，
p
k
），
∵線段AB的垂直平分線恒過定點(diǎn)Q（6，0），精英家教網(wǎng)
∴
p
k
4-
p
2
-6
•k=-1，解之得p=4，可得拋物線方程為y2=8x，
②當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，可得|
AF
|+|
BF
|=2p=8，
也滿足拋物線方程為y2=8x．
綜上所述，可得拋物線方程為y2=8x；
（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，由x0=4-
p
2
=2，得M（2，y0）
∵AB斜率k=
p
y0
，∴直線AB方程為y-y0=
p
y0
（x-2）
令y=0，解出直線與x軸的交點(diǎn)為D（2-
1
4
y02，0），
∵由y2=8x和y-y0=
p
y0
（x-2）消去x，得：y2-2y0y+2y02-16=0，
∴|y1-y2|=
(y1+y2)2-4y1y2
=
4y02-4(2y02-16)
=
64-4y02
，
∵|QD|=6-（2-
1
4
y02）=4+
1
4
y02，
∴△AQB面積為S=
1
2
|QD|•|y1-y2|=
1
2
（4+
1
4
y02）•
64-4y02

=
1
4
2
(16+y02)(16+y02)(32-2y02)

∵
(16+y02)(16+y02)(32-2y02)
≤
[
1
3
(16+y02)+(16+y02)+(32-2y02)]3
=
512
3
9
，
∴S=
1
4
2
(16+y02)(16+y02)(32-2y02)
≤
1
4
2
•
512
3
9
=
64
6
9
．
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線AB的方程為x=2且|AB|=8，
可得△ABS面積S=
1
2
×8×4=16＜
64
6
9
．
∴△AQB面積最大值為
64
6
9
．
點(diǎn)評(píng)：本題給出拋物線滿足的條件，求拋物線方程并求三角形面積的最大值．著重考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系和三角形面積求法等知識(shí)，屬于中檔題．
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（I）若y1y2=-4，求拋物線的方程；
（II）當(dāng)b=2時(shí)，求a+c的值；
（III）如果取KMA=2，KMB=-
12
時(shí)，判定|∠AMF-∠BMF|和∠MFO的值大小關(guān)系．并說明理由．

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7、設(shè)拋物線y2=2px（p＞0）上一點(diǎn)A（1，2）到點(diǎn)B（x0，0）的距離等于到直線x=-1的距離，則實(shí)數(shù)x0的值是
1
．

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設(shè)拋物線y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，其準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為Q，過Q點(diǎn)的直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)．
（1）若直線l的斜率為
2
2
，求證：
FA
•
FB
=0；
（2）設(shè)直線FA，F(xiàn)B的斜率分別為k1，k2，求k1+k2的值．

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A、
p2
2
B、p2
C、2p2
D、4p2

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