Question

19．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}cosa\\ y=sina\end{array}\right.（a$為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C₂的極坐標(biāo)方程為$ρ=\frac{4}{sinθ+cosθ}$．
（1）求曲線C₁，C₂的直角坐標(biāo)方程；
（2）已知點(diǎn)P，Q分別是線C₁，C₂的動(dòng)點(diǎn)，求|PQ|的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系式，消去參數(shù)，可得C₁直角坐標(biāo)方程．利用ρsinθ=y，ρcosθ=x化簡(jiǎn)可得C₂的直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)P的坐標(biāo)（$\sqrt{3}cosα$，sinα），利用點(diǎn)到直線的距離公式和三角函數(shù)的有界限，求解|PQ|的最小值．

解答 解：（1）曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}cosa\\ y=sina\end{array}\right.（a$為參數(shù)），
可得：$\frac{x}{\sqrt{3}}=cosα$，sinα=y，
則$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$，
故得C₁直角坐標(biāo)方程$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$，
曲線C₂的極坐標(biāo)方程為$ρ=\frac{4}{sinθ+cosθ}$．
則ρsinθ+ρcosθ=4
∵ρsinθ=y，ρcosθ=x，
∴x+y=4．
故得C₂的直角坐標(biāo)方程為：x+y-4=0．
（2）設(shè)$P（{\sqrt{3}cosa，sina}），d=\frac{{|{\sqrt{3}cosa+sina-4}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{|{2sin（{a+\frac{π}{3}}）-4}|}}{{\sqrt{2}}}，{d_{min}}=\frac{2}{{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}$．
即|PQ|的最小值為$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考察了參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互換．利用參數(shù)設(shè)坐標(biāo)，求解點(diǎn)到直線的距離的問題．