Question

14．已知圓F的方程為x²+y²-2x=0，與x軸正半軸交于點(diǎn)A，橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在圓心F，頂點(diǎn)為A．
（1）求橢圓的方程；
（2）如圖D，C是橢圓上關(guān)于y軸對稱的兩點(diǎn)，在x軸上存在點(diǎn)B，使得四邊形ABCD為菱形，求B點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）圓的方程出A（2，0），圓心F（1，0），設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，（a＞b＞0），則a=2，c=1，由此能求出橢圓方程．
（2）設(shè)D（m，n），則C（-m，n），B（2-2m，0），m＞0，n＞0，由題意得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{m}^{2}}{4}+\frac{{n}^{2}}{3}=1}\\{\sqrt{（2-m）^{2}+{n}^{2}}=2m}\end{array}\right.$，由此能求出點(diǎn)B坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵圓F的方程為x²+y²-2x=0，與x軸正半軸交于點(diǎn)A，
∴令y=0，得A（2，0），圓心F（1，0），
∵橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在圓心F（1，0），頂點(diǎn)為A（2，0），
設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，（a＞b＞0），則a=2，c=1，∴b²=4-1=3，
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（2）設(shè)D（m，n），則C（-m，n），B（2-2m，0），m＞0，n＞0，
由題意得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{m}^{2}}{4}+\frac{{n}^{2}}{3}=1}\\{\sqrt{（2-m）^{2}+{n}^{2}}=2m}\end{array}\right.$，
由m＞0，解得m=$\frac{14}{15}$.2-2m=2-$\frac{28}{15}$=$\frac{2}{15}$，
∴B（$\frac{2}{15}$，0）．

點(diǎn)評 本題目考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)的合理運(yùn)用．