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17.已知函數(shù)f(x)=aln(x+1)-ax-x2
(1)若x=1為函數(shù)f(x)的極值點(diǎn),求a的值;
(2)討論f(x)在定義域上的單調(diào)性.

分析 (1)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),根據(jù)x=1為函數(shù)f(x)的極值點(diǎn),建立方程f'(1)=0,進(jìn)行求解即可.
(2)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),討論a的取值范圍,結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行討論即可.

解答 解:(1)因為f′(x)=ax+1-a-2x,
令f'(1)=0,即a2-a-2=0,解得a=-4,
經(jīng)檢驗:此時,x∈(0,1),f'(x)>0,f(x)遞增;
x∈(1,+∞),f'(x)<0,f(x)遞減,
∴f(x)在x=1處取極大值.滿足題意.
(2)f′(x)=ax+1-a-2x=2xx+a+22x+1,
令f'(x)=0,得x=0,或x=-a+22,又f(x)的定義域為(-1,+∞)
①當(dāng)-a+22≤-1,即a≥0時,若x∈(-1,0),則f'(x)>0,f(x)遞增;
若x∈(0,+∞),則f'(x)<0,f(x)遞減;
②當(dāng)-1<-a+22<0,即-2<a<0時,若x∈(-1,-a+22),則f'(x)<0,f(x)遞減;
若x∈(-a+22,0),則f'(x)>0,f(x)遞增;若x∈(0,+∞),則f'(x)<0,f(x)遞減;
③當(dāng)-a+22=0,即a=-2時,f'(x)≤0,f(x)在(-1,+∞)內(nèi)遞減,
④當(dāng)-a+22>0,即a<-2時,若x∈(-1,0),則f'(x)<0,f(x)遞減;
若x∈(0,-a+22),
則f'(x)>0,f(x)遞增;
若x∈(-a+22,+∞),則f'(x)<0,f(x)遞減;

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性,極值和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,注意對a進(jìn)行分類討論,考查學(xué)生的運(yùn)算和推理能力.

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