Question

已知函數(shù)
（1）當(dāng)a=0時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若?x∈[1，3]，使f（x）＜（x+1）Inx成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）若函數(shù)f（x）的圖象在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)恒在直線y=2ax下方，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：顯然函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），
（1）當(dāng)a=0時，，；
由f'（x）＞0，結(jié)合定義域解得0＜x＜1，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1）．
（2）將f（x）＜（x+1）lnx化簡得，∵x∈[1，3]∴有
令，則，由g′（x）=0解得x=e．
當(dāng)1≤x＜e時，g′（x）＞0；當(dāng)e＜x≤3時，g′（x）＜0
故
∴?x∈[1，3]，使f（x）＜（x+1）lnx成立等價于a＜
即a的取值范圍為
（3）令，則g（x）的定義域為（0，+∞）．
在區(qū)間（1，+∞）上，函數(shù)f（x）的圖象恒在直線y=2ax下方等價于g（x）＜0在區(qū)間（1，+∞）上恒成立．
∵
①若，令g'（x）=0，得極值點x₁=1，，
當(dāng)x₂＞x₁=1，即時，在（x₂，+∞）上有g(shù)'（x）＞0，
此時g（x）在區(qū)間（x₂，+∞）上是增函數(shù)，并且在該區(qū)間上有g(shù)（x）∈（g（x₂），+∞），不合題意；
當(dāng)x₂＜x₁=1，即a≥1時，同理可知，g（x）在區(qū)間（1，+∞）上，有g(shù)（x）∈（g（1），+∞），也不合題意；
②若，則有2a-1≤0，此時在區(qū)間（1，+∞）上恒有g(shù)'（x）＜0，
從而g（x）在區(qū)間（1，+∞）上是減函數(shù)；
要使g（x）＜0在此區(qū)間上恒成立，只須滿足，
由此求得a的范圍是[，]．
綜合①②可知，當(dāng)a∈[，]時，函數(shù)f（x）的圖象恒在直線y=2ax下方．
分析：（1）當(dāng)a=0時，求函數(shù)f（x）的定義域，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)大于0，即可得到單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若?x∈[1，3]，使f（x）＜（x+1）Inx成立，就出a的不等式，構(gòu)造函數(shù)求出導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的最小值，即可求實數(shù)a的取值范圍；
（3）若函數(shù)f（x）的圖象在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)恒在直線y=2ax下方，構(gòu)造函數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)對a進(jìn)行討論，當(dāng)a∈[，]時，函數(shù)f（x）的圖象恒在直線y=2ax下方．
點評：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，構(gòu)造法的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，函數(shù)與方程的思想，高考的壓軸題．