Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

6

3

，其左、右焦點(diǎn)分別是F₁、F₂，點(diǎn)P是坐標(biāo)平面內(nèi)的一點(diǎn)，且|OP|=

10

2

，

PF1

•

PF2

=

1

2

（點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）直線y=x與橢圓C在第一象限交于A點(diǎn)，若橢圓C上兩點(diǎn)M、N使

OM

+

ON

=λ

OA

，λ∈（0，2）求△OMN面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)P（x₀，y₀），F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），由|OP|=

10

2

得x02+y02=

5

2

，由

PF1

•

PF2

=

1

2

，得x02+y02-c2=

1

2

，由此能求出橢圓C的方程．
（2）由

y=x x2 3 +y2=1

，得A(

3

2

，

3

2

)，設(shè)直線MN的方程為y=kx+m，聯(lián)立方程組

y=kx+m x2 3 +y2=1

，得（1+3k²）x²+6kmx+3m²-3=0，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由韋達(dá)定理知y1+y2=k(x1+x2)+2m=

2m

1+3k2

，由

OM

+

ON

=λ

OA

，知x1+x2=

3

2

λ，y1+y2=

3

2

λ，kMN=-

1

3

，m=

3

3

λ，|MN|=

1+(- 1 3 )2

|x1-x2|=

10

3

(x1+x2)2-4x1x2

=

10 4-3m2

2

，O（0，0）到直線MN的距離為d=

3 10 m

10

，由此能求出S_△OMN的最大值．

解答：解：（1）設(shè)P（x₀，y₀），F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
由|OP|=

10

2

得x02+y02=

5

2

，
由

PF1

•

PF2

=

1

2

，得（-c-x₀，-y₀）•(c-x0，-y0)=

1

2

，
即x02+y02-c2=

1

2

，
所以c=

2

，又因為

c

a

=

6

3

，所以a²=3，b²=1，
橢圓C的方程為：

x2

3

+y2=1；
（2）由

y=x x2 3 +y2=1

得A(

3

2

，

3

2

)，
設(shè)直線MN的方程為y=kx+m，聯(lián)立方程組

y=kx+m x2 3 +y2=1

消去y得：（1+3k²）x²+6kmx+3m²-3=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則x1+x2=-

6km

1+3k2

，x1x2=

3m2-3

1+3k2

，
∴y1+y2=k(x1+x2)+2m=

2m

1+3k2

，
∵

OM

+

ON

=λ

OA

，∴x1+x2=

3

2

λ，y1+y2=

3

2

λ，
得kMN=-

1

3

，m=

3

3

λ，于是x1+x2=

3m

2

，x1x2=

9m2-9

4

，
∴|MN|=

1+(- 1 3 )2

|x1-x2|=

10

3

(x1+x2)2-4x1x2

=

10 4-3m2

2

，
∵λ＞0，O（0，0）到直線MN的距離為d=

3 10 m

10

，
∴S△OMN=

1

2

|MN|d=

10 4-3m2

4

•

3 10 m

10

=

3 • (4-3m2)•3m2

4

≤

3

2

，
當(dāng)m=

6

3

，即λ=

2

時等號成立，S_△OMN的最大值為

3

2

．

點(diǎn)評：本題考查求橢圓的方程和求△OMN面積的最大值．解題時要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，靈活運(yùn)用橢圓的性質(zhì)，合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．