已知f(x)在(-1，1)上有定義f()=1，對于x，y∈(-1，1)有f(x)-f(y)=f()恒成立，對數(shù)列{xn}有x1=，xn+1=(n∈N*)．

(1)證明：f(x)在(-1，1)上為奇函數(shù)；

(2)求f(xn)的表達(dá)式；

(3)是否存在自然數(shù)m，使得對于任意n∈N*，恒成立?若存在，求出m的最小值．

(1)當(dāng)x=y=0時，f(0)=0，再令x=0得f(0)-f(y)=f(-y)，即f(y)+f(-y)=0

∴f(x)在(-1，1)上為奇函數(shù)．

(2)由x1=，xn+1=(n∈N*)易知{xn}中0＜xn＜1，

∵f(xn)-f(-xn)=f()且f(x)在(-1，1)上為奇函數(shù)

∴f(xn+1)=2f(xn)，由f()=1，x1=

∴f(x1)=1

∴{f(xn)}是以1為首項(xiàng)、2為公比的等比數(shù)列

∴f(xn)=2n-1．

(3)

假設(shè)存在m使得恒成立，即2恒成立，

∵2＜2，∴≥2，∴m≥16，∴存在自然數(shù)m≥16，使得+…+ ＜成立，此時最小的自然數(shù)m=16．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f(x)=(
1
ax-1
+
1
2
)x(a＞0，a≠1)．
（1）討論f（x）的奇偶性；
（2）若f（x）＞0在定義域上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f(x)在(-1，1)上有定義，f()＝1，且滿足當(dāng)x，y∈(-1，1)時，有f(x)-f(y)＝f()，數(shù)列{xn}中有x1＝，xn+1＝.

(1)證明f(x)在(-1，1)上為奇函數(shù)；

(2)求f(xn)的表達(dá)式；

(3)是否存在自然數(shù)m，使得對于任意n∈N*，有++…+＜成立？若存在，求出m的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f(x)在(-1,1)上有定義，f()=1且滿足x,y∈(-1,1)時有f(x)-f(y)=f(),對數(shù)列{xn}滿足x1=,xn+1=.

（1）求f(0)的值，并證明f(x)在(-1,1)上為奇函數(shù);

（2）探索f(xn+1)與f(xn)的關(guān)系式，并求f(xn)的表達(dá)式;

（3）是否存在自然數(shù)m，使得對于任意的n∈N*，++…+＞恒成立？若存在，求出m的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f(x)在(-1,1)上有定義，f()=1且滿足x,y∈(-1,1)時有f(x)-f(y)=f(),若數(shù)列{xn}滿足x1=,xn+1=.

（1）求f(0)的值，并證明f(x)在(-1,1)上為奇函數(shù)；

（2）探索f(xn+1)與f(xn)的關(guān)系式，并求f(xn)的表達(dá)式；

（3）是否存在自然數(shù)m，使得對于任意的n∈N*，有+++…+＜恒成立？若存在，求出m的最小值;若不存在，請說明理由.

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